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1、若偏微分方程复杂或边界条件不规则时，则方程难以求得解析解，不得不求满足近似程度要求的近似解。,变分法是常用的近似方法之一，而且，变分法的原理和应用遍及物理学的各个领域。,所谓变分法即为泛函的极值问题。,前述各章讨论的数理方程的解均为解析解,第八章 变分法,本章将从数学在物理学中应用的角度，来讨论变分法的基本概念、原理，以及用来求解当选理方程的思路,泛函分析是一门较为专业的数学课程。,1 泛函的概念,最速落径问题,如图所示,A、B两点不在同一铅垂线，也不在同一高度,8.1泛函与泛函的极值,我们知道，质点下落速率与下落高度间的关系为,一质点在重力作用下无磨擦沿某曲线从A滑到B，求下滑的最短时间。或
2、沿哪条曲线用时最短。,所以,T称为y(x)的泛函,y(x)可取的函数种类，称泛函的定义域,泛函是函数的涵数（不指复合函数）,一般地， C是函数的集合， B是实数（或复数）的集合，若对于C中的任一称元素y(x) ，在B中均有一元素J与之对应，则称J为y(x) 的泛函是函数。,记为,与通常函数的定义不同，泛函的值决定于函数的取形。,即,如上例中，T的变化决定于 的变化，而非某一个自变量x的值进而某一个函数y的值。,而是决定于函数集合C中的函数关系，即决定于函数的取形。,通常，泛函多以积分形式出现，如,称为泛函的核,其中,2 泛函的极值与变分,在泛函的概念下，最速落径问题归结为泛函,的极值问题，所谓
3、变分法,就是求泛函的极值问题。,研究泛函极值问题的方法归为两类：直接法与间接法,要讨论间接法，先讨论泛函的变分问题。,设有连续函数,即,导数的变分等于变分的导数,变分微分运算可交换次序。,将其微小变形为,其中t是一个小参数，,称为 的变分，,记为,此时，函数,相应变形为,设,对x, y, y二阶可导，y连续,中,相对于y、y作Tayler展开,抵消t的0次项，保留t的1次项，略去t的高阶项,有变分dy 时，泛函J的变化为,则函数,可得,上式称泛函 J y（x）第一次变分，简称变分，记为,3 泛函极值的必要条件欧拉方程,设泛函 J y（x）的极值问题有解，记为y = y(x),现在来推导此解y（
4、x）满足的常微分方程,设y=y（x）有变分 ， 则,可视为t 的函数,表示为,当t=0时,亦即, F(t)函数取极值。,即 取极值,这样，就把原来的泛函的极值问题转变成F(t)这种普通函数的极值问题。,令,即,将,代入上式，得,即,泛函取极值的必要条件是其变分为0，或者说，泛函J的极值函数y(x)必须是满足泛函的变分dJ=0的函数类,所以泛函的极值问题称为变分问题,在简单变分问题中，,端点是固定的,同乘t 得,即,又因为,（分步积分）,欧拉(Euler)方程，泛函有极值的必要条件。,所以，得,）单变量多函数的泛函,以上为单变量单函数泛函极值问题的欧拉方程，较复杂的泛函欧拉方程可仿照上述方法导出
5、。,如,与求多元函数的偏导数相似，分别对多函数泛函之某一函数取变分，其余函数保持不变。,可得,i=1,2, n,）高阶导数的泛函,取,相应的欧拉方程为,或写成,）多元函数的泛函,取,相应的欧拉方程为,例1 最速落径问题，即求解变分问题,代入,得,解：由于,欧拉方程变形为,不显含x,求出偏导数，有,通分并取平方,取,得,令,代入上式,摆线的参数方程,常数c1 、c2由A、B位置决定,4 泛函的条件极值问题,若变量函数 y（x）受到附加条件的限制，则相应的极值问题，称为条件极值问题。,典型的也是最重的限制是用积分形式表示的,如,即所谓等周问题,均为常数，可仿照函数条件极值问题的Lagrange乘子
6、法，即,其中,将附加条件乘以参数,确定特解l，求其变分，有,这是通过a和b两点的y(x)在附加条件下,使泛函取极值的必要条件。,则问题转化为一般的泛函变分问题，相应的欧拉方程为,关于y(x)的二阶常微分方程，一般含三个参数，即l和两个积分常数，泛函取极值的必要条件。,由,来确定,例2 求 的极值，其中y是归一化的，即,得,解：此泛函的条件极值问题，可转化为变分问题,代入欧拉方程，有,这里,且已知,的通解为,代入归一化条件，得,所以,而泛函的极值为,使泛函取极小值 p2,当n=1时，泛函,满足条件,5 求泛函极值的直接方法(Ritz 方法),从泛函自身出发，不经微分方程直接求出极值曲线，称为泛函
7、极值问题的直接方法。,Ritz 方法典型的直接方法：要点是不将其放在它全部定义域来考虑，而是在定义域的某一部分来考虑。,使J转化为,设某种完备的函数系,试偿以其中的前几项来表示变分问题 dJ = 0 的解,其中,为待定系数,的n 元函数,所以按多元函数求极值的方法，令,不过这样得出的函数并非变分问题dJ = 0的严格解,由于f的形式是我们预先选定的，比如,即,由此解出,便确定出了函数y(x),而是近似解,记为yn(x)，严格解应为,Ritz法中函数系ji的选取至关重要，如何选取？,例3 用Ritz方法求例2。即求,采用试探解,项的选取是为了满足,解：以,作为选取的函数系,将其代入,得,下的变分
8、问题。,在约束条件,且已知,由,即,结果是,把,代入,得,显而易见，在c1=0时，Jy(x)最小，最小值为10,所以,对比,近似解，抛物线,严格解，正弦曲线,且,1）把偏微分方程的本征值问题或定解问题，与泛函的极值问题联系起来，使原来的方程是泛函的欧拉方程；,2）用直接方法求出泛函的极值函数，由于此函数一定满足欧拉方程，所以，也一定满足原方程，即一定是原方程的解。,用变分法求数理方程的基本原理,本节以Helmhotz方程的本征值问题和Poisson方程的边值问题为例，讨论把上述问题转化为泛函极值问题或变分法的基本方法，然后来求解极值问题（用直接方法）。,8.2用分法求解数理方程,（设u在区域t
9、内有连续的二阶导数，l为参数, s为t的边界）,取泛函,令,1 本征问题与变分问题的关系,Helmhotz本征值问题,由第一格林公式,则有,或,其中,对应的欧拉方程为,对于三元函数的泛函，,其变分问题为,所以,即泛函,中,把,代入欧拉方程，得,欧拉方程变为,极值问题的欧拉方程,就是Helmhotz方程在,边界条件下本征值问题,而且，此泛函变分问题与泛函,在附加条件,就是说，Helmhotz方程的本征值问题，可归结为归一条件下J1u的极值问题。,下的变分问题等价。,所对应的泛函同样为,若为第二类边界条件,同样亦有,即本征值问题,若为第三类边界条件,类似地有,则本征值问题,记,和边界条件 下,的极
10、值问题,可归结为在附加条件,求泛函,2 泛函极值与本征值问题的关系,仍以Helmhotz方程为例，先给出一重要结论：,的最小值l0就是本征值问题,泛函,的最小本征值,而使泛函J1u在边界条件,和附加条件,u0就是该本征值问题对应本征值l0的本征函数。,取得最小值的函数,结论的证明：,有最小值l0 的极值函数，则有,设u0是使泛函,由边界条件,知,的欧拉方程为,又，在附加条件,下,所以u0满足,或,代入J1u0,有,u0是本征函数。,再证明：,即l0 是本征值，,设l0是最小本征值。,相应的本征函数为u1 则有,这与,是,的最小值相矛盾,结论得证。,有次小值l1 的极值函数，,类似地还可证明，若
11、设u1是使泛函,且满足边界条件,和附加条件,除此之外，还同时满足与u0正交的条件。,即,设,相应的本征函数为u1 满足,依此类推，泛函取第i个极值的极值函数ui 满足,且满足边界条件,和附加条件,除此之外，还同时满足正交条件,即,由此得到的泛函的次极小值,就是本征值问题,的次极小值,对于一系列本征值,相应的本征函数为,例 用变分法求边界固定的圆膜横振动的本征振动。,代入上式，得,引入无量纲变量,解：取平面极坐标，定解问题为,令,旋转对称,记,得,这是一个二阶常微分方程的本征值问题，用变分法,对于任意的二阶常微分方程的本征值问题，形如,在归一化条件,能够证明，可转化归结为：,及相应边界条件下求泛
12、函,的极值问题,二方程对比,在归一化条件,有,下，求泛函,的极值问题,所以方程的求解,采用直接方法（Ritz方法）求解,令,代入 归一化条件和泛函，得,（如此取形使x=0处不出现尖点）,算出各积分，得I,J 两个关于c1，c2的函数为,由Lagrange乘子法，取极值的条件为,其中:k=lb2,c1 、c2 非零解存在的条件是：,解出k的两个解为，,最小本征值为,因l=b2/k,将其代入c的方程和归一化条件,解出,本例的严格解可由分离变量法得出，结果为,为最小本征值,为相应的本征函数,称为零阶Bessel函数，,称为零阶Bessel函数的第一个零点。,第一类边值问题,3 边值问题与变分问题的关系,以Poisson问题为例来讨论,s为t的边界,取,对,取变分，有,但,由泛函取极值的条件为，,所以相应的欧拉方程为,（前式利用格林第一公式）,并非原Poisson边值问题,或,即求解,本征值问题,可归结为在边界条件下Ju的极值问题。,也就是说,取泛函,相应的欧拉方程,就是原Poisson边值问题的方程,令,若为第二、三类边界条件,二类h为零，三类h不为零,取变分,类似地有,故,即在边界条件 下,的极值问题,的定解问题可归结为泛函,方程,
