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1、壳板理论,郑州大学,板壳理论,第十四章 变分法解薄板小挠度弯曲问题,弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。,因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解，得出函数表示的精确解答。,对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要有变分法，差分法和有限单元法。,郑州大学,板壳理论,差分法简介,差分法是微分方程的一种近似数值解法。它不是去寻求函数式的解答，而是寻求函数在一些网格结点上的数值。,差分法就是把微分用有限差分代替，把导数用有限差商代替，从而把基本方程
2、和边界条件（一般均为微分方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，从而把求解微分方程的问题转化成求解代数方程的问题。,郑州大学,板壳理论,差分法简介,设函数f为弹性体内的某一个连续函数（可以是应力函数，应力分量函数，位移函数），将函数f在0点处沿3-0-1这条平行于x轴的直线展开：,郑州大学,板壳理论,差分法简介,网格间距h很小：,联立求解：,郑州大学,板壳理论,差分法简介,郑州大学,板壳理论,差分法简介,郑州大学,板壳理论,变分法简介,所谓变分法就是求泛函极值的方法,设C是一个由函数组成的集合，对于C中的任何一个元素 y(x)，数集B中都有一个元素J 与之对应，称J 是 y(x)的泛函数，
3、记作 J = Jy(x),什么是泛函？解决什么问题？,函数值,自变量,函数,自变量,数,函数,数,数,y = f(x),J = Jy(x),郑州大学,板壳理论,泛函解决什么问题？,在实际工作中，为了完成某项任务，我们首先要分析实际问题特殊现象与一般规律之间的关系，然后建立数学上的表达式。如求连接两个定点的曲线段中弧长最短的曲线,变分法简介,经典问题（最速降线问题）：设O,A是高度不同，且不在同一铅垂线上的两定点，如果不计摩擦和空气阻力，一质点m在重力作用下从O点沿一曲线降落至 A点，问曲线呈何种形状时，质点降落的时间最短。,变分法简介,设曲线为 y= y(x)，坐标如图,速度v与它的纵坐标有关
4、系,边界条件,郑州大学,板壳理论,微分方程的边值问题可转化为一个泛函极值的变分问题，因此我们 通过求解泛函极值的变分问题，就可以解决相应的微分方程的边值问题。实际工作中的问题常常很复杂，不但微分方程的边值问题难解，泛函的变分问题也不是容易求出精确解的。我们希望用近似的方法求得泛函极值的近似表达式，从而求得问题的近似解。在很多场合，特别是实际工程问题中，这样的近似解也满足要求。 常用的方法里茨（Ritz）方法、伽辽金法（Galerkin ）,变分法简介,虚位移状态 虚位移（数学上称为位移变分） ， 表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量,变分法简介,虚位移不是实际外力作用下发生的，而是
5、假想由其他干扰产生的。因此，虚位移状态 就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态。且 满足位移边界条件,变分法简介,微分是在同一状态下，研究由于位置(坐标) 改变而引起函数的改变。其中的自变量为坐标变量x,y； 而因变量为函数，如位移。,变分与微分的比较,变分是在同一点位置上，由于状态改变 而引起泛函的改变。 其中的自变量为状态函数，如位移； 而因变量为泛函，如能量,郑州大学,板壳理论,由于微分和变分都是微量，所以 a.它们的运算方式相同 b.变分和微分可以交换次序，如,变分法简介,在封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中形变势能的增加 应等于外力
6、势能的减少,弹性体的总势能为弹性体的形变势能+外力势能（-外力做的功的）,变分法简介,郑州大学,板壳理论,这就是最小势能原理。它表示在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能为极小值。,变分法简介,基本微分方程、内力边界条件,位移边界条件,郑州大学,板壳理论,14-5 里茨法,郑州大学,板壳理论,14-5 里茨法,郑州大学,板壳理论,14-5 里茨法,郑州大学,板壳理论,14-5 里茨法,郑州大学,板壳理论,14-5 里茨法,郑州大学,板壳理论,14-5 里茨法,郑州大学,板壳理论,14-5 里茨法,郑州大学,板壳理论,14-5 里茨法,极坐标,
7、直角坐标,郑州大学,板壳理论,14-5 里茨法,轴对称形式,郑州大学,板壳理论,14-5 里茨法,郑州大学,板壳理论,14-6 里茨法应用举例,例1,？,边界条件是否满足？,郑州大学,板壳理论,满足上列全部位移条件，且满足上下边界的内力边界条件，即弯矩为零，但 可知该式在薄板左端满足了实际不存在的条件，即分布剪力为0，可能在该边界附近引起误差。,14-6 里茨法应用举例,求二阶导,形变势能,郑州大学,板壳理论,14-6 里茨法应用举例,郑州大学,板壳理论,14-6 里茨法应用举例,郑州大学,板壳理论,14-6 里茨法应用举例,验证：正方形薄板，a=b，m=0.3，中点处挠度,郑州大学,板壳理论
8、,14-6 里茨法应用举例,郑州大学,板壳理论,例2,14-6 里茨法应用举例,半径为a的圆形夹支薄板，如下图所示，在半径为b的中心圆面积上受均布载荷q0, 这是一个轴对称问题。,取挠度的表达式为,郑州大学,板壳理论,14-6 里茨法应用举例,考察边界,边界,轴对称,试取,郑州大学,板壳理论,14-6 里茨法应用举例,考察极小势能取最小值公式左边,右边,郑州大学,板壳理论,14-6 里茨法应用举例,与经典解完全一致,若边界为简支,郑州大学,板壳理论,14-6 里茨法应用举例,考察边界, 14.7伽辽金法,伽辽金法是由俄罗斯数学家鲍里斯格里戈里耶维奇伽辽金发明的一种数值分析方法。其原理为通过选取
9、有限多项试函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。本质上是加权残量法的一种。,郑州大学,板壳理论, 14.7伽辽金法,考虑定义域为V的控制方程，其一般表达式为：,Lu=P,精确解集u上的每一点都满足上述方程，如果我们寻找到一个近似解 ，它必然带来一个误差（x），把它叫做残差，即：, (x)=L-P,近似方法要求残差经加权后他在整个区域中之和应为0，,加权残量法, v (L-P)dV=0,形函数,郑州大学,板壳理论, 14.7伽辽金法,一般形式,拉氏算子,设,
10、形函数,残差,加权消除残差,具体到薄板，后面推导,郑州大学,板壳理论, 14.7伽辽金法,伽辽金变分方程,由于位移分量有变分，应变也有变分，按照几何方程：,将形变势能看做应变的函数，则：,郑州大学,板壳理论, 14.7伽辽金法,郑州大学,板壳理论,整理后可得,当边界条件满足时，为零, 14.7伽辽金法,郑州大学,板壳理论, 14.7伽辽金法,伽辽金 变分方程,对于薄板小挠度弯曲问题，只有Z方向位移，故,设挠度的表达式为,郑州大学,板壳理论, 14.7伽辽金法,郑州大学,板壳理论, 14.7伽辽金法,郑州大学,板壳理论, 14.7伽辽金法,郑州大学,板壳理论, 14.7伽辽金法,伽辽金法可广泛用
11、于各种数学物理工程问题，特别是流体力学中的有限元方法，主要采用的就是伽辽金法或其改进方法。 相对于瑞利-里兹法，两者虽然在某个特定的条件是等效的，但是伽辽金法是直接针对原始微分方程推导出来的，也适用于不能给出泛函（需对其求极小值）的那些问题，伽辽金法比瑞利-里兹法更有优势。但是应当注意的是，伽辽金法虽然具有精度高、适用性较广的优点，但是对它的数学原理研究还不是很清楚，收敛性的许多问题仍有待解决。, 14.7伽辽金法, 14.7伽辽金法应用举例,边界条件为,等厚度矩形薄板，四边夹支，边长为a和b，如下图所示，受均布载荷q0。,例1, 14.7伽辽金法应用举例,解法一：注意该问题的对称性，取挠度的
12、表达式为,经验证其满足所有边界条件。,当只取一个系数时：, 14.7伽辽金法应用举例, 14.7伽辽金法应用举例,进一步得到挠度为,如果b=a，则,误差5%,精确解, 14.7伽辽金法应用举例,解法二：也可以取挠度表达式为双级数形式,经验证也可以满足全部边界条件,w,w,w,取法可多样性,精度，效率, 14.7伽辽金法应用举例,假定上式只取一项，即, 14.7伽辽金法应用举例, 14.7伽辽金法应用举例, 14.7伽辽金法应用举例,如果b=a，则,双级数,多项式,误差5%,误差1.5%,例2, 14.7伽辽金法应用举例,半径为a的圆形夹支薄板，在半径为b的中心圆面积上受均布载荷q0, 这是一个
13、轴对称问题。,任取, 14.7伽辽金法应用举例,这与里茨法求出的结果完全一致,变分法求解步骤,里茨法,设置满足位移边界条件的位移函数,满足求解方程，确定待定系数Cm,位移分量,内力,应力,应变,伽辽金法,满足求解方程，确定待定系数Cm,设置满足位移应力边界条件的位移函数,变分法公式总结,位移变分法在矩形薄板中的应用,（仅适用于无自由边）,位移变分法在圆形薄板中的应用,郑州大学,板壳理论,课堂习题,x,y,a,b,a,b,练习1 四边夹支，中心受集中荷载F 分析该问题可以由那种解法？,F,郑州大学,板壳理论,课堂习题,练习2 周边夹支，半径为a的圆形薄板，板面荷载如图 经典解与伽辽金法分别求解,伽辽金取,经典解,郑州大学,板壳理论,课堂习题,练习3 周边夹支，半径为a的圆形薄板，板面荷载如图 伽辽金法求解,a,a,r,z,取,作业： 14-4；14-5；14-6,郑州大学,板壳理论,薄板公式总结1,郑州大学,板壳理论,薄板公式总结2,郑州大学,板壳理论,薄板公式总结3,郑州大学,板壳理论,薄板公式总结4,纳维解,莱维解,薄板公式总结3,郑州大学,板壳理论,薄板公式总结6,Thank you ！,郑州大学,
