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1、闽江学院 本科毕业论文(设计) 题 目 均质杆运动之典型问题动力学研究 学生姓名 学 号 系 别 物理学与电子信息工程系 年 级 专 业 物理学 指导教师 职 称 教 授 完成日期 年 04 月 20 日 均质杆运动之典型问题动力学研究均质杆运动之典型问题动力学研究 摘要摘要 本文应用动力学理论分别对均质杆处在不同受力环境下：自由斜抛、在光 滑水平面上自由倾倒、竖直面内绕铰链转动、两绳悬挂下的运动、均质杆的打击 中心、与小球碰撞等等的均质杆进行相关的探讨和研究，从而得到一些比较有意 义的结论。 关键词关键词:均质杆、自由斜抛、自由倾倒、铰链、打击中心、碰撞 Abstract In this p
2、aper, Kinetic theory is used to explore and study the homogeneous rod in the different states： Free Projectile, a smooth horizontal surface Free Dumping, the Vertical Plane rotation around the Hinge, the motion under two Hanging ropes, the combated center of Homogeneous rod and a small Ball Collisio
3、n and so on, in order to get some significant conclusions. Key words： Homogeneous rod Projectile free, Free dumping, theHinge against the center, Collision 目录目录 1 1 引言引言 .2 2 2 2 均质杆在重力场作用下的运动均质杆在重力场作用下的运动 .4 4 2.12.1 均质杆的自由斜抛均质杆的自由斜抛 .4 2.22.2 均质杆在光滑水平面上自由倾倒均质杆在光滑水平面上自由倾倒.5 3 3 均质杆绕铰链转动内部受力分析均质杆绕铰链
4、转动内部受力分析 .7 7 3.13.1 铰链未脱落铰链未脱落.7 3.23.2 铰链脱落后铰链脱落后.11 4 4 两绳悬挂下均质杆的运动两绳悬挂下均质杆的运动 .1212 4.14.1 两绳悬挂下均质杆的运动两绳悬挂下均质杆的运动 .12 4.24.2 绳突然断掉时均质杆的运动绳突然断掉时均质杆的运动 .13 5 5 均质杆与物体的碰撞均质杆与物体的碰撞 .1717 5.15.1 均质杆的打击中心均质杆的打击中心.17 5.25.2 均质杆与小球碰撞均质杆与小球碰撞.18 6 6 综述综述 .2121 参考文献参考文献 .2222 致谢致谢 .2323 1 1 1 引言引言 我们在研究物体
5、运动时大多是把物体看做是质点或质点组，然而对于单个 质点，谈不上形状和大小，更谈不上自转。因此经典力学文献中引进刚体这一 特殊模型。 刚体是更接近实际物体的一种模型，可视为大量质点的集合，是一种理想 化的模型。刚体运动是生活中一种非常常见现象，也是力学中的一个经典的问 题，对其研究已有百年多的历史。生活中常见的刚体运动有车轮的运动、滑轮 的转动、碗面上小球的滚动、均质杆的运动、陀螺的进动等。正是因为刚体运 动种类如此繁多，很多学者对其也产生了浓厚的兴趣也进行了一些相应的研究。 文献【1 1 6 6】中运用刚体力学的基础知识对刚体运动做了分析，分别从平动 和转动两个方面进行了分析，对我们日常常见
6、的刚体运动做了比较系统的探究， 其中的发现问提和解决问题的思路和计算过程中所用到的技巧都是是值得我们 借鉴的，这也为我们研究物理现象指明了一定的方向和方法。 文献【7-18】 【7-18】主要介绍了刚体运动的基础知识，当然其中也交给我们研究刚 体运动的一般方向。从中我们可以归纳出解决有关刚体运动的基本主要公式。 文献【19 19】中所采用用的近似方法也是我们值得借鉴的，它可以帮助我们省 去很多复杂的运算，使我们所研究的问题的计算变得更简单，真正突出研究问 题的重心。 文献【 【20-30】中研究的是刚体与物体之间的碰撞问题，从完全弹性碰撞和非 弹性这两种特殊的情况对小球的功能变化情况进行分析，
7、进而得到结论。 虽然上述很多文献中都对刚体的运动都做了研究，但大多数的研究分析地都 不够具体，也不够深入、全面。本文就将从均质杆运动的典型问题出发，借鉴前人 的一些研究方法，对均质杆处于不同状态下的运动情况做一次比较全面的分析，主 要是从动力学方面进行研究。 2 刚体定轴转动概念及其主要公式刚体定轴转动概念及其主要公式 （1） 角速度 dt d （2） 角加速度 dt d （3） 线速度 ； rv （4） 切线加速度 ra 法向加速度 2 ran （5） 转动惯量的计算和平行轴定理 2 m rI i 本文所要用到的刚体转动惯量有： 通过质心与杆垂直时，转动惯量为 2 c 12 1 mLI 通过
8、端点与杆垂直时，转动惯量为 2 m 3 1 LI 转动惯量的平行轴定理： 2 mdII C （式中 d 为转轴与绕质心轴的距离） （6） 刚体定轴转动的转动定律 IM 式中 ,为刚体转动的合外力矩。FrMM i i （8）刚体定轴转动动能 2 2 1 IEK （9）刚体定轴转动动能定理 12 2 1 KK EEMdA 式中 为力矩的功 2 1 MdA （10）刚体定轴转动角动量定理 （式中 Mz 是外力对此转动轴的合力矩） zz MII w z （11）质心运动定理： c c am dt vd m tt p F d 外 3 2 2 均质杆在重力场作用下的运动均质杆在重力场作用下的运动 2.12
9、.1 均质杆的自由斜抛均质杆的自由斜抛 自由斜抛在我们日常生活中是非常常见的现象，向空中斜抛一根长为 L 的均质 杆，刚开始杆与水平轴的夹角为,假设均质杆以恒定的角速度转动，如图 2-1 0 0 所示。 0 v 0 A X y 0 0 y (t) A x 均质杆的运动可以看成是质心的平动和绕质心的转动的合成。从图中可知，杆 在自由斜抛过程中质心的平动轨迹为 tvtx 00c cos)( 2 00 2 1 sin)(gttvtyc 绕质心转动的轨迹（取 A 点位研究对象）为 )(cos 2 t L txA）（ )(sin 2 )( t L tyA 其中 。A 点的运动轨迹为tt 00 )( 图
10、2-1 均质杆的自由斜抛 4 )(cos 2 cos)()()( 0000 c t L tvtxtxtx AA )sin( 22 1 sin)()()( 00 2 00 t L gttvtytyty AcA 均质杆在空中的运动时间为 g v 00sin 2 t 又因为均质杆转动的角速度为 0,所以杆在空中所转的圈数 n 为 g v g v t 00000 00 sinsin2 2 1 2 1 n 均质杆的运动可以看成是质心的平动和绕质心的转动的合成。 2.22.2 均质杆在光滑水平面上自由倾倒均质杆在光滑水平面上自由倾倒 如图 2-2 所示，光滑水平面上有一细杆质量为 m,均匀分布，长度为 L
11、，初始位 置为竖直方向，试分析其在倾倒过程中相关的力学量：质心速度 vc(),质心加速 度 ac(),转动角速度 ()以及接触处的速度 vA()和支持力 N() N VC c v VA 由于杆受到水平面的约束反力 N 竖直方向上，所以杆质心沿竖直方向落下，取 坐标系如图所示。由几何关系知 ： (1) 2 cosL yc 图 2-2均质杆在光滑水平面上自由倾倒 自由倾倒自由倾倒 5 (2) dt dy v c c 由机械能守恒定律: (3) 22 1 m 2 1 22 L mgmgyIv cc 其中 。由（1）-（3）式得 2 mL 12 1 I 2 2 sin31 sin)cos1 (3 gL vc 当杆质心接近水平面时，此时杆的质心速度为 2 gLvc 4 3 ）（ 又因为 dt d d dv dt dv cc c )(a 注意到 ， dt d 即 C v L sin 2 sin 2 L
