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1、5 三重积分教学目的 掌握三重积分的定义和性质教学内容 三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换基本要求 掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法教学建议 (1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较(2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题一、三重积分的概念背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，利用求柱体的质量方法来得到结果一类大量的“非均匀”问题都采用
2、类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义定义1 设是定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割，当它的细度时，属于的所有积分和都有,则称在上可积，数称为函数在上的三重积分，记作=，其中称为三重积分的被积函数，称为积分变量，称为积分区域可积函数类（）有界闭区域上的连续函数必可积.（）有界闭区域上的有界函数的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则必在上可积.二、化三重积分为累次积分定理21.15 若函数在长方体=上的三重积分存在，且对任何，二重积分=存在，其中=，则积分也存在，且=. (1)为了方便有时也可采用其他的计算顺序若简单区
3、域由集合所确定，在平面上的投影区域为=是一个型区域，设在上连续，在上连续，上连续，则=，其他简单区域类似一般区域上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算例1 计算，其中为由平面,所围的区域.例2 求，其中为.例3改变下列累次积分顺序三、三重积分换元法设变换：，把空间中的区域一对一地映成空间中的区域，并设函数，及它的偏导数在区域内连续且行列式=0 , ,则=，（4）其中在上可积（一）、柱面坐标变换：如下图所示变换：，=，按（4）式=，这里为在柱面坐标变换下的原象在柱面坐标中：=常数，是以轴为中心轴的圆柱面； =常数，是过轴的半平面； =常数，是垂直于轴的平面若在平面上的投影区域，即=时=，其中二重积分部分应用极坐标计算例4 计算，其中是由曲面与为界面的区域例5 计算由和抛物面围成。例6计算由和围成。（二）、球坐标变换变换：，=，变换公式为：=在球面坐标中：=常数，是以原点为中心的球面=常数，是过轴的半平面=常数，是以原点为顶点，以轴为中心轴的圆锥面当时,=.例7 求由圆锥体和球体所确定的立体体积，其中和为常数解 球面方程在球坐标系下表示为，圆锥面在球坐标系下表示为，=.例8 计算： 例9 求=，其中为由与所围区域
