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1、窗体顶端第六章 静电场习题6-1 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：（1）在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡（即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零）？（2）这种平衡与三角形的边长有无关系？解：（1）如图任选一点电荷为研究对象，分析其受力有y轴方向有得 （2）这种平衡与三角形的边长无关。6-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2，如图所示。设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量。 解：对其中任一小球受力分析如图所示，有解得 6-3 在氯化铯晶体中，一价氯离子Cl与其最
2、邻近的八个一价铯离子Cs+构成如图所示的立方晶格结构。（1）求氯离子所受的库仑力；（2）假设图中箭头所指处缺少一个铯离子（称作晶格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力。（1）由对称性可知 F1= 0（2） 方向如图所示 6-4 长l15.0 cm的直导线AB上均匀地分布着线密度的正电荷。试求：（1）在导线的延长线上与导线B端相距处P点的场强；（2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距处Q点的场强。解：（1）如图所示，在带电直线上取线元，其上电量在点产生场强为用，代入得 方向水平向右（2）同理 方向如图所示由于对称性可知，即只有分量以, ,代入得 方向沿轴正向*6-5 设匀强电场的电场强度E与半径为R
3、的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。解：取平面S与半球面S构成闭合曲面，因其内部无电荷，根据高斯定理有 6-6 边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于Oxy、Oyz 和Ozx 平面，立方体的一个顶点为坐标原点，现将立方体置于电场强度（k，E1，E2为常数）的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。解：由题意知场强E的方向在Oxy平面内，即整个立方体表面*6-7 一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2，求电场分布。解：由对称性分析可知，电场成球对称分布。可应用高斯定理过
4、场点作与球壳同心的球形高斯面，有rR1时，；R1rR2时，R2rR3时，6-8 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为。试求距球心5cm，8cm及12cm的各点的场强。解：由高斯定理，得当时， ， 时， ，方向沿半径向外cm时， ，方向 沿半径向外6-9 在电荷体密度为的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向球形空腔球心O的矢量用a表示，如图所示。试证明球形空腔中任一点的电场强度为。解：采用补偿法求解。空腔等效为电荷体密度为和-的两个带电体。腔内任一点的电场强度等于电荷体密度为的大球和电荷体密度为-的小球所产生的电场强度的矢量和。由高斯定理可知，均匀带电球内任一
5、点的电场强度为空腔内任一点的电场强度*6-10 半径为R1和R2（R1R2）的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和-，试求：（1）；（2）；（3）处各点的场强。解：由对称性分析可知电场成轴对称分布。可应用高斯定理选取同轴闭合圆柱形高斯面，有rR1时，R1rR2时，6-11 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为和，试求空间各处场强。解：设向右为正方向。两面间，面外， 面外， *6-12 如图所示，在A，B两点处放有电量分别为q，q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力做的功。解： 6-13 如图所示的绝缘细线上均匀分布着
6、线密度为的正电荷，两段直导线的长度和半圆环的半径都等于R。试求环中心O点处的场强和电势。解：（1）由于电荷均匀分布与对称性，和段电荷在点产生的场强互相抵消，取，则产生点如图，由于对称性，点场强沿y轴负方向。（2）电荷在点产生电势，以同理产生 半圆环产生 6-14 在一半径为R的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。已知球壳B的内、外半径分别为R2，R3。设球A带有总电荷QA，球壳B带有总电荷QB。（1）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势；（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金属球A和球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。解：（1）根据空腔导体的静电性
7、质，球壳B内、外表面上所带的电荷量分别为QB内=-QA，QB外=QA+QB根据均匀带电球壳电势特点及电势叠加原理可得（2）球壳B接地则即球壳外表面电荷为零，内表面电荷-QA不变。断开后球壳带电球A接地则 得 根据空腔导体的静电性质，球壳B内、外表面上所带的电荷量分别为断开后球壳电势*6-15 半径为的金属球之外包有一层外半径为的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为，金属球带电Q。试求：（1）电介质内、外的场强；（2）电介质层内、外的电势；（3）金属球的电势。解：（1）由有电介质时的高斯定理 金属球内部 金属球外部电介质内部 电介质外部 （2）由电势定义得金属球内部电介质内部电介质外部 （3）金属
8、球的电势 *6-16 两个同轴的圆柱面，长度都是l，半径分别为R1和R2（R2R1），且l R2-R1。两柱面之间充满介电常数为的电介质。当两圆柱面分别带有等值异号电荷Q时，求（1）在半径为r（R1rR2）厚度为dr的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度是多少？（2）薄壳中的总电场能量是多少？（3）电介质中的总电场能量是多少？（4）由总电场能求圆柱形电容器的电容。解：由有电介质时的高斯定理 有 得（1）取半径为r，厚度为dr的同心圆柱薄壳。其体积及电场能量密度分别为（2）薄壳中的总电场能量为 （3）电介质中的总电场能量为 （4）圆柱形电容器的电容 *6-17 一平行板空气电容器极板面积为S，间距为d
9、，充电至带电Q断开电源。用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d。求（1）电容器能量的改变；（2）此过程中外力所做的功，并讨论此过程中功能转换关系。解：（1）极板间距为d和2d时电容各为 和电容器储存的能量分别为 电容器中能量的增量为 （2）此过程中外力克服两极板之间引力所做的功转化为电容器的能量，即6-18 半径为0.10cm的长直导线，外面套有内半径为1.0cm的共轴导体圆筒，导线与圆筒间为空气（已知空气的击穿电场强度Eb=3.0106V/m）。略去边缘效应，求：（1）导线表面最大电荷面密度；（2）沿轴线单位长度的最大电场能量。解：（1）设导线表面电荷量为Q，则导线和圆筒间电场强度为导线表面附近的电场强度导线表面最大电荷面密度（2）导线最大电荷线密度导线和圆筒间电场强度为电场能量密度沿轴线单位长度的最大电场能量为窗体底端
