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1、第十一章 机械振动一、基本要求1掌握简谐振动的基本特征，学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程，并判断其是否谐振动。2. 掌握描述简谐运动的运动方程，理解振动位移，振幅，初位相，位相，圆频率，频率，周期的物理意义。能根据给出的初始条件求振幅和初位相。3. 掌握旋转矢量法。4. 理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。二、基本内容1. 振动 物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。如果物体振动的位置满足，则该物体的运动称为周期性运动。否则称为非周期运动。但是一切复杂的非周期性的运动，都可以分解成许多不同频率的简谐振动（周期性运动）的叠加。振动不仅限于机械
2、运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽属不同运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是就其中的振动过程讲，都具有共同的物理特征。一个物理量，例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性（或准周期性）的变化，也是一种振动。2. 简谐振动 简谐振动是一种周期性的振动过程。它可以是机械振动中的位移、速度、加速度，也可以是电流、电量、电压等其它物理量。简谐振动是最简单，最基本的周期性运动，它是组成复杂运动的基本要素，所以简谐运动的研究是本章一个重点。（1）简谐振动表达式反映了作简谐振动的物体位移随时间的变化遵循余弦规律，这也是简谐振动的定义，即判断一个物体是否作简谐振动的运动学根据
3、。但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须涉及到的物理量、（或称描述简谐运动的三个参量），显然三个参量确定后，任一时刻作简谐振动的物体的位移、速度、加速度都可以由对应地得到。 （2）简谐运动的动力学特征为：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即，它是判定一个系统的运动过程是否作简谐运动的动力学根据，只要受力分析满足动力学特征的，毫无疑问地系统的运动是简谐运动。这里应该注意，系指合力，它可以是弹性力或准弹性力。（3）和简谐运动的动力学特征相一致的是简谐运动的运动学特征：作简谐运动物体的加速度大小总是与其位移大小成正比、而方向相反，即，它也是物体是否作简谐
4、运动的判据之一。只要加速度与位移大小成正比、而方向恒相反，则该物理量的变化过程就是一个简谐运动的过程。在非力学量，例如电量、电流和电压等电学量，就不易用简谐振动的动力学特征去判定，而电路中的电量就满足，故电量的变化过程就是一个简谐振荡的过程，显然用运动学的特征来判定简谐运动更具有广泛的意义。3. 简谐振动的振幅、周期、频率和相位（1）振幅是指最大位移的绝对值。是由初始条件来决定的，即。（2）周期是指完成一次完整的振动所用时间。，式中是简谐振动的圆频率，它是由谐振动系统的构造来决定的，即,也称为固有圆频率。对应的称为固有周期。，式中称为频率（即固有频率），它与圆频率的关系，是由系统本身决定的。（
5、3）相位和初相位是决定简谐振动的物体时刻和时刻运动状态的物理量。即在、确定后，任一时刻的、 都是由来确定的。一个周期内，每一时刻的相位不同，则对应的运动状态也不相同。对不同的两个或更多的几个简谐振动，相位还用来区分它们之间“步调”的一致与否。初相位决定于初始条件：即由共同决定。或由计算，但由此式算得的在或范围内有两个可能的取值，必须根据时刻的速度方向进行合理的取舍。如能配合使用旋转矢量图示法，则会使的确定更加简捷、方便。4. 旋转矢量法 简谐运动的表达式中有三个特征量、，旋转矢量法把描述简谐运动的三个物理量更直观、更形象地表示在图示中。作匀速转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A，其角速度等于谐
6、振动的角频率，且时，它与X轴正向的夹角为谐振动的初位相，时刻它与X轴正向的夹角为谐振动的位相（）。旋转矢量的末端在X轴上的投影点的运动代表质点的谐振动。5. 简谐振动的能量动能 势能 机械能 6. 同方向同频率简谐振动的合成和合成后仍为简谐振动 其中 (合振幅) （合振动的初相）三、习题选解11-1 质量为的小球与轻弹簧组成的系统，按m的规律振动（式中 x以m计，t以s计），试求：（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度和加速度的最大值；（2）、各时刻的相位；（3）分别画出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。解：（1）m与振动的标准形式)相比可知：圆频率 振幅 初相位 周期 =最大速度 最大
7、加速度 （2）相位为,将、代入相位分别为、（3）由有 11-2 有一个和轻弹簧相连的小球，沿轴作振幅为的简谐振动，其表达式用余弦函数表示。若时，球的运动状态为（1）；（2）过平衡位置向轴正向运动；（3）处向轴负方向运动；（4）处向轴正方向运动；试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写出振动表达式。解：四种情况对应的旋转矢量图如图所示：（1） 初相位，振动方程为（2） 初相位，振动方程为（3） 初相位为， 振动方程为 题11-2图（4）初相位，振动方程为11-3 质点作简谐振动的曲线x-t如图所示，求质点的振动方程式解：t=0时， 所以 ， ，再由， 取t=1s时， （注意） ， 再由， 所以 振
8、动方程为 11-4 两质点沿同一直线作同频率、同振幅的简谐振动，当它们每次沿相反方向互相通过时，它们的位移均为其振幅的一半，求这两个质点振动的相位差。解：设两个质点振动方程为 速度为 依题意，两质点在相遇时此时两质点运动方向相反，这分两种情况。（1）质点向轴正向运动，质点向轴负向运动，这时 位相差（2）质点向轴负向运动，质点向轴正向运动，这时 位相差两种情况都说明其中一个质点的运动比另处一个质点的运动超前或落后。两质点在处相向相遇时有同样的结论。11-5 在一平板上放质量的物体，平板在竖直方向上下作简谐振动，周期为，振幅，试求：（1）在位移最大时，物体对平板的压力；（2）平板应以多大振幅作振动
9、，才能使重物开始跳离木板。解：（1）选择物体平衡位置为坐标原点，向上的方向为轴正向。由牛顿第二定律有 题11-5图当系统运动到最高位置时，加速度为负的最大值。即 此时 当系统运动到最低位置时 此时 （2）物体跳离木板，应在最高位置时受木板的力11-6 如图所示，一质量为的盘子系于竖直悬挂的 轻弹簧的下端，弹簧的倔强系数为。现有一质量的物体自离盘高处自由落下掉在盘中，没有反弹，以物体掉在盘上的题11-6图瞬时作为计时起点。求盘子的振动表达式。（取物体掉在盘子后的平衡位置作为坐标原点，位移取向下为正）。 解：取物体掉在盘子里的平衡位置为坐标原点，轴向下建立坐标系。 这时弹簧伸长为 当时，弹簧伸长为
10、 题11-6图 所以，时系统的位移为 设此时系统的速度为，由动量守恒定律有 且速度向下与轴方向相同，取正值。当物体落入盘中，且系统运动至坐标处时，系统运动方程为此时弹簧伸长为，因而则 由于 有方程解为 由初始条件时，有 = 所以盘子的振动表达式为11-7 如图所示，一弹簧振子由倔强系数的弹簧和质量的物块组成，将弹簧一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为，速度的子弹由下而上射入物块，并留在物块中。求：（1）振子以后的振幅和周期；（2）物体从初始位置运动到最高点所需的时间。 题11-7图解：（1）以子弹射入物块后的平衡位置为原点，轴向下，建立坐标系，这时弹簧伸长子弹未射入物块时，弹簧伸长为。此
11、时物体在坐标系中的位置 题11-7图物块和子弹共同运动的速度 （负号表示方向向上）当子弹射入物块，并且运动到y处时，系统的运动方程为此时弹簧伸长为，故于是有 由于 有 系统的振动方程为 由初始条件时， ， 有 =故系统振幅为 周期为 （2） 系统的振动方程为物块从初始位置运动到最高点时，第一次到达最高点时11-8 一水平放置的弹簧振子，已知物体经过平衡位置向右运动时速度，周期，求再经过时间，物体的动能是原来的多少倍，设弹簧的质量不计。解：取向右的方向为轴的正向，设物体平衡位置为坐标原点，物体的振动方程为 由于 故 将物体经过平衡位置向右运动时取为时刻则 有 因而物体振动方程为 物体的振动速度为
12、当时， 此时物体动能为 J 初始时刻物体动能为 J即秒后物体动能是原来的。11-9 一质量的物体作简谐振动，其振幅为，周期为，当时，位移为，求：（1）时，物体所在的位置；（2）时，物体所受力的大小与方向；（3）由起始位置运动到处所需的最少时间；（4）在处，物体的速度、动能以及系统的势能与总能量。解：令振动方程为 由题意有 ，且时，初相位振动方程为 所以（1）时，=（2）时，负号表示力的方向沿轴负向。（3）当时，位相取值为。最少的时间 =（4）时，正负号表示物体可能向轴正向或负向运动。此时动能：=势能：，由，有=总能量：11-10 如图所示，一个水平面上的弹簧振子，弹簧的倔强系数为，所系物体的质量为，振幅为，有一质量的物体从高度处自由下落。当振子在最大位移处，物体正好题落在上并粘在一起，这时振动系统的振动周期、振幅和振动能量有何变化？如 题 11-10图 果物体是在振子到达平衡位置时落在 上，这些量又如何？解：粘土未落在上时系统的振动周期为 粘土落在上时，系统的振动周期为 , 当正好处于最大位移处，即时，此时，粘土落下后，方向速度仍为零，此时振子仍处于最大位移处，振幅不变。系统能量为也不变。当处于平衡位置时，系统在平衡位置，此时为系统原来的振幅。粘土落下与碰撞后的速度，可由动量守恒定律
