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1、第三章 現值、債券價值與利率期限結構 2007.10.1第二章介紹了財務管理中最重要的概念：貨幣的時間價值（time value of money）。貨幣的時間價值就是決定本期貨幣價值和未來期間貨幣價值間的關係。本章將第二章的現值概念由一期的架構延伸為多期的架構，接著將利用多期架構下的現值公式討論各種債券的價值以及長短期利率間的關連。在多期架構下，除了將不同時間的現金流量轉換為以相同時間的貨幣來衡量外，還須考量不確定性。此時，投資決策者計算現值時應如何適切考量風險因素？本書第十章將討論存在風險情形下，如何調整折現率以計算現值及淨現值。本章暫不考慮風險的存在如何影響淨現值的計算，但先以例子說明風
2、險因素如何影響投資決策。 例子： 台藝畫廊正考慮以40萬元購入一幅王秋香40號油畫，預計此畫明年售出可得款48萬元，這項投資計劃的現金流量圖為 現金收入 48萬元 0 1 現金支出 - 40萬元目前銀行存款利率為10%，請問該畫廊是否應購入這幅畫？ 一般而言，現金流量圖中48萬元現金收入不應視為事先確定的數字，最多只是預測值。若台藝畫廊忽略投資畫作和存款間風險的差異，而以存款利率10%做為購置的資本機會成本 (opportunity cost of capital)，則下一期出售畫作價款的現值為 。由於43萬6364元的現值高於本期購畫成本40萬元，畫廊似乎應選擇此項投資計劃。由於藝品投資的風
3、險遠較存款為高，不宜以存款利率做為資本機會成本（或稱折現率），而恰當的折現率應比10%為高才能合理反映此項投資計劃的風險。經過仔細評估，畫廊廖老闆認為25%才能反映購畫計劃的風險，亦即25%才是合理的資本機會成本。此時，下一期出售油畫價款現值變為 ，而此項投資計劃的淨現值為負： 384,000元元 = 元依據第二章的淨現值法則，畫廊不應選擇此項投資計畫。由於投資決策涉及投資計畫執行期間現金流量的評估，而未來又充滿不確定性，這個例子說明公司經營階層如何選擇恰當的折現率是投資決策過程中最大的挑戰。1. 複利計息的威力 黃朝貸出手中的1萬元現金後，下一期將有本金加利息的現金收入：(1+r)萬元，r為
4、市場均衡利率。黃朝若將所得的 (1+ r) 萬元再貸出一期，由於已將前期所賺的利息 r萬元做為下一期的本金再生利息，這個過程稱為複利計息（compounding process）。第二期結束後，黃朝可取得的投資收益為， 式中 r 表示將第一期收到的利息（r萬元）做為第一期可貸出的本金，在第二期所賺到的利息，即息生息。2r表示兩年期間單利計息所賺取的利息。兩相比較可知：以複利計息所賺取的投資收益和單利計息所賺取的投資收益兩期後金額相差r萬元。兩期後黃朝將收到的(1+r)2萬元再貸出一期，第三期結束後本金加利息的現金收入變為 式中 3r萬元是三年期間以單利計息方式所得到的利息收入，而（3r+ r）
5、萬元則是以複利計息方式所算出第一期利息以及第二期利息再透過息滾息過程所創造的額外現金收入，（）萬元即為以複利計息方式所得到的利息總收入。複利計息和單利計息最不同之處在於單利計息的計算是不將前期的利息做為未來的本金，故三期後兩者的差異變為（3r+r）萬元。複利計息過程中息生息的威力到底有多大？表3-1列舉單利計息以及複利計息所得到投資收益的差異。兩種計息方式在第一期沒有差別，二期以後期末餘額亦只有1元 (100元 10% 10% ) 的差異。20年後，單利計息所算出的期末投資收益為300元，而以複利計息方式所算出期末投資收益高達673元，兩者差距已有一倍以上。其後的差異呈成長。舉例說，50年後，
6、單利計息所算出的期末投資收益為600元，若以複利計息所算出的期末投資收益為11,739元，兩者差距已接近二十倍。表3-1 本期投資100元各期期末的投資收益（r = 10%）單利計息複利計息期數期初本金 +利息期末餘額期初本金+利息 期末餘額1100 +10=110100+10=1102110 +10=120110+11=1213120 +10=130 121+12.1=133.14130+10=140 133.1+ 13.3=146.410190+10=200236+24=25920290+10=300 612+61=67350590+10=600 10,672+1,067=11,73910
7、01090+10=11001,252,783,+125,278=1,378,0612002090+10=210017,264,116,020+1,726,411,602=18,990,527,6222102190+10=220044,778,670,810+4,477,867,081=49,256,537,891接下來，再以1926年到1996年這段期間，投資美國股市的年平均報酬率為例說明複利計息的威力。若在1926年初投資美國股市1美元，到了1996年底投資收益變為1370.95美元： ，經過計算，投資美國股市71年的平均報酬率（r）為10.71%。10.71% 的年平均報酬率看起來似乎不高
8、，但經過71年的複利計息過程，當初投資1美元71年後竟會創造1370.95美元的投資收益，而複利計息的威力正在於前期利息可投入本期及未來各期的本金再用於生息，這也是息生息的威力所在。假若將1370.95元元再投資70年，1926年所投資的那一塊錢，在2066年所創造出來的投資收益將變為187萬9503美元。複利計息的威力亦可用於解釋為何上一代遺產大都不贈與給下一代而是贈與給下一代的下一代。父母都寧願讓其孫徒輩變得比較有錢，而非讓子女輩變得稍微有錢。2. 多期架構下的現值公式 截至目前，我們所討論的都僅止於一期的投資計劃，本節將現值與淨現值的概念延伸到多期架構。依第1節複利計息的討論，若本期投資
9、支出為C0 ，則T期後所創造的投資收益 (T期期末終值) 為 FV(T) =,式中r0T為第0期時投資T期的年利率，FV(T) 為本期現金流量C0在T期結束時的終值，而T表示投資終止時間。若市場均衡年利率為9%，本期貸出1 元，由終值公式兩期後就可創造出1.1881元的投資收益。換一個角度看，若我們希望在兩期後能有1元的收入，市場均衡利率為9%情形下，請問本期應投資多少？這個問題可用下列公式呈現 PV元, 式中PV即為兩年後1 元的現值。現值所表現的是兩年後的1元以本期貨幣衡量所得的價值： PV =。這個計算現值的過程稱為折現（discounting process）與複利計息正好相反。以折現
10、方式計算現值是將未來期間的貨幣轉換以本期貨幣來衡量，而複利計息則是將本期的貨幣價值轉換為以未來某特定期間的貨幣來衡量（即複利計息等同於計算終值）。如何驗證0.84168元的確是兩年後1元的現值？我們可利用複利計息公式來檢證。0.84168元以9% 利率貸出一年，一年後可取得的本金加利息金額為0.84168元 （1.09）= 0.91743元。 若將0.91743元再貸出一年，所得的本金加利息正等於1元： 1元 = 0.91743元 =也就是說，市場均衡利率為9%情形下，本期的0.84168元和兩年後的1元等值。9% 稱為折現率（discount rate），而1/(1.09)2（或0.8416
11、8）稱為現值因子（present value factor，以PVF簡記）。我們可利用現值因子將未來的現金流量轉換以本期貨幣衡量。例子： 阿輝購買台北銀行所發行的第一期對對樂彩券中了頭獎，獎金100萬元。阿輝想將它存入銀行，計劃五年後將本金及利息用於購車，而阿輝看上的車子其車價為161萬500元。假設五年內車價不變，若阿輝將這筆獎金存入銀行，請問市場均衡利率水準應是多少才讓她五年後有足夠錢支付車款。首先，本期存入100萬元五年後所得到的本金加利息的金額可用以下現金流量圖表示：現金支出 -100萬元 0 5現金收入 161萬500元由終值的公式可得：100萬元 =161.05萬元，簡單計算可解出
12、r為10%。 在財務管理課程中，計算利息時，都以複利方式計息。由本節的討論亦可清楚看出：折現其實就是一種複利計息的反向應用。在實際說明現值概念時，我們經常以本期投資100元，若市場均衡利率為10%時，請問一年後該投資者會有多少投資收益？替代假設均衡利率為10%，請問一年後100元的現值為多少？第一個問題的答案是100元 1.1 = 110元，而第二個問題的答案則是 = 90.9元。也就是說，折現是將複利計息過程時間倒轉過來，將未來的貨幣價值轉換為以本期貨幣衡量的價值。綜上所述，第n期現金流量 (Cn) 折現為以本期貨幣衡量的公式為式中 r0n 為n年期純折現率(或稱為n年期年利率)，n 1。投
13、資計畫所創造的現金收入不只限於未來的某一期，可能持續數期。此時計算各期現金流量現值的概念不變，先將各期現金流量一一轉換以本期貨幣衡量的價值，這些價值的加總就得到現值。假設某投資計畫在第1期至第n期間，預期第i期現金收入為Ci，i= 1, 2, , n，則這n期現金收入的現值為 PV=， （1） 式中 r0i 為第i期的純折現率。若本期的資本支出為C0（由於C0是現金支出，故以- C0 表示），則此投資計畫的淨現值為 NPV=。 （2）一般而言，長短期年利率（或各期純折現率）並不相同。假設長短期年利率 相同：，則現值公式變為，而淨現值公式亦簡化為。由第二章的討論可知，利率（r）不僅影響經濟個體的儲蓄意願，亦影
