《常微分方程阶段(2)复习题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程阶段(2)复习题.doc（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、常微分方程第二阶段试题 一. 单选题1. 函数 （其中为任意常数）所满足的微分方程是（ ） ； ； ； 。2.二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是（ ） （A）线性无关 （B）朗斯基行列式为零 （C） （D）线性相关3.二阶线性齐次微分方程的两个解,不是基本解组的充要条件是（ ）（A）线性无关 （B）朗斯基行列式不为零 （C） （ ）线性相关4.线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于（ ）（A） （B） （C） （D）5阶线性齐次微分方程线性无关解的个数不能多于（ ）个 （A） （B） （C） （D）6. 设常系数线性齐次方程特征方程根，则此方程通解为（ ）（A）；
2、 （B）；（C）； （D）7.方程的特解具有形式（ ）。 （A） ; （B） ; （C） ; （D）。8.微分方程的一个特解应具有形式（ ） （A） （B）（C） （D）9.微分方程的通解是（ ） （A）； （B）；（C）； （C）。10.容易验证：是二阶微分方程的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。（式中为任意常数）（ ） （A） （B）（C） （D）11.微分方程的一个特解应有形式 ( ) （A）； （B）； （C）； （D） 12.微分方程的一个特解应具有形式 ( )（A）（B）（C）（D）13.微分方程的一个特解应具有形式（ ）（A） （B）（C） （D）14.微分方程的通解是（ ）（
3、A）； （B）；（C）； （C）。15.设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程=的解，是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ） （A）； （B）；（C）； （D）16.方程的通解是( ). (A) ； (B) ；(C) ； (D) .17.求方程 的特解时，应令（ ） ； ； ； 。18函数,在区间a,b上的朗斯基行列式恒为零，是它们在a, b上线性相关的( ). (A)充分条件； (B)必要条件；(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.19设函数,方程在区间a,b上的两个解，则其朗斯基行列式不为零，是它们在a, b上线性无关的( ). (A)充分条件； (B)必要条件；(C)充分必要条件
4、； (D)充分非必要条件.20设函数,方程在区间a,b上的两个解，则其朗斯基行列式区间a,b上某一点不为零，是它们在a, b上线性无关的( ). (A)充分条件； (B)必要条件；(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.21函数,在区间a,b上的朗斯基行列式在a, b上某一点处不为零，是它们在a, b上线性无关的( ) (A)充分条件； (B)必要条件；(C)充分必要条件； (D)充分非必要条件.22n阶线性非齐次微分方程的所有解是否构成一个线性空间?( ) (A)是； (B)不是；(C)也许是； (D)也许不是.23.两个不同的线性齐次微分方程组是否可以有相同的基本解组?( ) (A)不
5、可以 (B)可以(C)也许不可以 (D)也许可以24.若是线性齐次方程组的一个基解矩阵，T为非奇异nn常数矩阵，那么T是否还是此方程的基解矩阵.( ) (A)是 (B)不是(C)也许是 (D)也许不是25.方程组（ ） (A)个线性无关的解称之为方程组的一个基本解组(B)个解称之为方程组的一个基本解组(C)个线性无关的解称之为方程组的一个基解矩阵(D)个线性相关的解称之为方程组的一个基本解组26.若和都是的基解矩阵，则（ ） （A）其中为非奇异常数矩阵 （B）其中常数矩阵（C）其中为非奇异常数矩阵 （D）其中为常数矩阵27.若是的基解矩阵，则满足的解（ ） （A） （B）（C） （D）28.方
6、程组的（ ）称之为的一个基本解组。 （A）n个线性无关解 （B）n个不同解 （C） n个解 （D）n个线性相关解29.n阶齐线性微分方程的（ ）称方程的一个基本解组。 （A） n个线性相关解 （B）n个不同解 （C） n个解 （D）n个线性无关解30.A、B为的常数矩阵，则下列式子错误的是 （ ）（A） （B）（C） （D）二. 填空题1. 以为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为 。 2.若为阶齐线性微分方程的个解，则它们线性无关的充要条件是_。 3.形如_的方程称为欧拉方程。4.若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_ 5.以 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为 。6.的通解是 7.若和都是
7、的基解矩阵，则和具有的关系是_ 8.若是的基解矩阵，则满足的解 9.设的某一解，则它的任一解-。10.若为齐线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为 11.若为齐线性方程组的个线性无关解，则这一齐线性方程组的所有解可表为 12.若为齐线性方程组的个线性无关解，则这一齐线性方程组的基解矩阵为 13.若是的基解矩阵，则满足的解 14函数组的伏朗斯基行列式为 _ 。15若为的一个基本解组，为的一个特解，则的所有解可表为 _ 。16若为齐线性方程的一个基本解组，为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 _ 。17若是的基解矩阵，则向量函数= _是的满足初始条件的解；18.若
8、是的基解矩阵向量函数= _ _ 是的满足初始条件的解。19若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵= _ _ 是常系数线性方程组的一个基解矩阵。 20.若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是_。21.若为一阶齐线性方程组的n个解，则它们线性无关的充要条件是_。22.方程组的_称之为的一个基本解组。23.若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =_。24.形如 的方程称为欧拉方程。25.阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个 26.n阶非齐次线性微分方程的任意两解 必为其相应的齐次线性微分方程的解三求高阶微分方程的解1. 试验证0有基本解组t，
9、并求方程t-1的通解。2.2y+y-y=2ex; 3.4.5.6.求方程的解。 7.求微分方程的通解。8.y3y-1=0; 9.求 满足的特解四求解下列方程组的解1.解方程组 2. 已知 的基解矩阵为，求方程组的通解 34 5 6.若试求方程组的解并求expAt7.试求方程组=Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为五应用题1.试求y=x的经过点M(0, 1)且在此点与直线相切的积分曲线. 42. 求微分方程的一条积分曲线，使其在原点处与直线相切。六综合题1.设，其中为连续函数，求 2.设具有二阶连续导数，且为一全微分方程，求及此全微分方程的通解。七证明题1.设是方程的n+1个线性无关解
10、,证明微分方程的任一解恒能表为:且2. 阶线性齐次微分方程一定存在个线性无关解。 3.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。4.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值. 5.试证：如果满足初始条件的解，那么 6.假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组有一解形如，其中，是常数向量。7.假设y是二阶常系数线性微分方程初值问题 的解，试证是方程 的解，这里f（x）为已知连续函数。 8.设y1(x)、y2(x)是二阶齐次线性方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个解, 令 , 证明: W(x)满足方程W +p(x)W=0; 9. 设y1(x)、y2(x)是二阶齐次线性方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个解, 令 , 且W(x)满足方程W +p(x)W=0; 证明.
