《抽象函数周期性的判断及其简单运用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抽象函数周期性的判断及其简单运用.pdf（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 抽象函数周期性的判断及其简单运用抽象函数周期性的判断及其简单运用 朱永瑛 江苏省洪泽县教师进修学校(223100) 所谓周期函数就是：对定义域为D的函数 ( )f x，对任意xD，存在常数0T()xTD+有 ()( )f xTf x+=，则( )f x为周期函数对具体的函 数其周期性可以借助函数表达式，根据周期函数的 定义进行判断 那么， 抽象函数的周期性如何判断？ 又如何运用于解题呢？ 1 抽象函数周期性的判断抽象函数周期性的判断 1.类型一类型一 ()()f xaf xb+=+ 定理一：定理一：定义在R上的函数( )f x，对任意的 xR，若有()()f xaf xb+=+(其中, a
2、b为常数， ab)， 则函数( )yf x=是周期函数，|ab是函数 的一个周期 证明：证明：()()f xaf xb+=+对任意xD都成 立，()()f xaaf xab+=+， 即( )()f xf xba=+. |ba为函数( )f x的一个周期. 1.2 类型二类型二 ()()f xaf xb+=+ 定理二：定理二：定义在R上的函数( )f x，对任意的 xR，若有()()f xaf xb+= +(其中, a b为常数， ab)，则函数( )yf x=是周期函数，2|ab是函 数的一个周期 证明：证明： ()()f xaf xb+= +对任意xD都成立, ()()()f xaaf xa
3、bf xba+= += +， 即( )()f xf xba= +. ()2()f xbaf xba+= +， ( )2()2()f xf xbaf xba= +=+， ( )f x是周期函数,2|ba为函数的一个周期. 1.3 类型三类型三 1 () ( ) f xa f x +=， (或者或者 1 () ( ) f xa f x += ) 定理三：定理三：定义在R上的函数( )f x，对任意的 xR，若有 1 () ( ) f xa f x +=，(或 1 () ( ) f xa f x += ) (其中a为常数，0a )，则函数( )yf x=是周期函 数，2|a是函数的一个周期 证明：证
4、明：()1/( )f xaf x+=， 11 (2 )( ) ()1/( ) f xaf x f xaf x += + ， 函数( )f x是周期函数，2|a是它的一个周期. 同理可证()1/( )f xaf x+= 是周期函数，且 2|a是它的一个周期 1.4 类型四类型四()()f axf ax+=且且()()f bxf bx+= 定理四：定理四：定义在R上的函数( )f x，若对任意的 xR，有()()f axf ax+=且()()f bxf bx+=， (其中, a b是常数，ab)则函数( )yf x=是周期函 数，2|ab是函数的一个周期 证明：证明：()()f axf ax+=且
5、()(f bxf b+= ) x对任意xR都成立， (2()(2 )fxxbf axab+=+ (2 )(2)()f axabfbxf bbx=+=+ ()( )f bbxf x=， 2()( )f xabf x+=， ( )f x是周期函数, 2|ab是函数的一个周期. 注：注：1上述函数的定义域未必一定是实数集， 符合条件的任意数集都可以； 2定理四中，由()()f axf ax+=且()f bx+ ()f bx=可知函数图象关于直线xa=和直线xb= 对称，即函数有两条对称轴，故本定理又可通俗地 说成:有两条(或两条以上)对称轴的函数为周期函数 2 利用周期性求值利用周期性求值 在解决一
6、些抽象函数的函数值问题时，若能充 分利用函数的周期性，问题常会得到巧妙的解决 例 例函数( )f x是定义在R上的奇函数，对任意 的xR，都有(1)(3)fxfx+=+，求(2)(4)(6)fff+ (2008)f+?的值 解析：解析：(1)(3)fxfx+=+， 函数( )f x是周期函数，周期为2， (0)(2)(4)(6)(2008)fffff=? ( )f x是奇函数， (0)0f=， (2)(4)(6)(2008)0ffff=?， (2)(4)(6)(2008)0ffff+=?. 例例2函数( )f x对任意的xR， 有( )(1)f xf x=+ (1)f x+，且(0)9,(10
7、)30ff=.求(101)f的值 解析： 解析：本题看起来不属于所述抽象函数中任意 一种类型，但若对( )(1)(1)f xf xf x=+稍作变形， 将式中的x取作1x+，再将两式联立，便可发现其 属于类型2 ( )(1)(1)f xf xf x=+，将式中x取作1x+ 34 福建中学数学福建中学数学 2008 年第年第 8 期期 得(1)(2)( )f xf xf x+=+， 联立、可得(1)(2)0f xf x+=， (1)(2)f xf x= +， ( )(3)(6)(6)f xf xf xf x= += +=+， ( )f x是周期为6的周期函数， (101)(6 165)(5)ff
8、f=+= (4)(6)(10)(0)30939ffff=+=+=+=. 例例 3 函数( )f x是定义在R上的函数且(4)1f x+ ( )1( )f xf x= +，(0)18f=，求(2008)f的值 解析：解析：由题设可得 1( ) (4) 1( ) f x f x f x + += ，猜想其 可能属于类型3，通过(8)f x +变形到(4)f x +，再 由(8)f x +变形到( )f x，可发现果然如此 (4)1( )1( )f xf xf x+= +，又(1)1f(因为如 果( )1f x =，则(4)(1 1)1 1f x += +即02=，显然不 成立)， 1( ) (4)
9、 1( ) f x f x f x + += ， 1(4) (8) 1(4) f x f x f x + += + 1( ) 1 1( ) 1( ) 1 1( ) f x f x f x f x + + = + 1 ( )f x = ， 1 (16) (8) f x f x += + 1 1/( )f x = ( )f x=， ( )f x是周期为16的周期函数 (2008)(16 1258)ff=+ (8)f= 1/(0)f= 1/18 例例 4 若函数( )f x是实数集上的偶函数，对任意 的xR，都有(3)(1)fxfx=+;而函数( )g x对任 意的xR， 都有(2007)(2006
10、)(2008)g xg xg x+=+， 且 2 (1)log 3g=， 2 (2)log 6g=，(5)(3)fg=， 求(1)f+ (5)(9)(2009)fff+?的值 解析：解析：( )f x的条件属于类型四. 在(2007)g x + (2006)(2008)g xg x=+中，令x为2006x即 得：(1)( )(2)g xg xg x+=+，在式中再取x为 1得：(2)(1)(3)ggg=+，(3)(2)(1)1ggg= 又( )f x是偶函数，且(3)(1)fxfx=+， ( )f x关于直线0 x=和直线2x=对称， ( )f x是周期为4的函数， (1)(5)(9)(200
11、9)ffff=? 而(5)(3)1fg=， (1)(5)(9)(2009)ffff+? 503 (5)503f=. 发掘“中巧”发掘“中巧” 减轻负担减轻负担 谭 明 谢秋莲 沈文选 湖南师范大学数学与计算机科学学院(410081) 问题是数学的心脏，因此数学学习中解题的教 与学是必不可少的，特别是高三学习中大多数的时 间都是围绕题目在转，面对浩如烟海题目是不是做 得越多越好了？当然不是，题目不在多，而在精， 在于解题后多总结和归纳，发掘一些解题的中巧， 通过解一题学会一类题的解法，这样学习效率才可 以提高，负担才能真正的减轻以下来看几个中巧： 1 消数法消数法 解题的过程中有时候为了解题的方
12、便，时常会 引入与一些最后结果无关的量，通过构建这些量与 所求问题的解之间的关系，再消去这些量而得到了 所求问题的解 例例1如图所示， 已知,ABmAM ACnAN O=为 BC的中点，求m+n的值 解：解：设,(1)MOtMN ONt MN= 因为O为BC的中 点，所以 11 22 AOABAC=+， 又AOAMMO=+ AMtMN=+ 1)t AMtAN=+（， 所以有 1/2,/2tmtn = 消去t可得m+n=2 当然这个题目还有其他的方法可以解答，但是 这种利用等式消数的方法最简单的 2.模式法模式法 数学是模式的科学，解题的过程中如果能够看 出问题的模式，则解题的方法易得 利用模式来解题一般很简单，这样做当然可以 减轻学习的负担，并且这样做得多了可以加深对知 识间内部联系的理解，知识也学活了一般有以下 A M C B O N 2008年第年第8期期 福建中学数学福建中学数学 35
