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1、关于导函数列一致收敛的性质的一些命题.函数列可逐项求导的充分条件定理10.10 如果函数列满足条件:(1) 每一个在区间上有连续的导函数;(2) 由导函数构成的函数列在上一致收敛于函数;(3) 至少在某一点,收敛。那么， 在上一致收敛于某个函数，在区间上有连续的导函数，而且对每个，有，即 。定理 设函数列的每一项都在区间上连续可导，如果对任何，函数列在上一致收敛于函数,函数列在上一致收敛于函数,那么在区间上有连续的导函数，而且对每个，有，即 。定理1.设.若收敛, 收敛,且在上一致收敛,则在上一致收敛;在上一致收敛. ， 。定理2 设且收敛,如果在上一致收敛,则与均在上一致收敛.证明由，得 ,
2、由条件,可知收敛,利用定理1,即得到结论.定理3 设若在上一致收敛,在上一致收敛,则在上一致收敛.，是Banach空间 。定理4设则有证明 存在,使得,由,得从而有.定理5 设则对任意,成立 ；存在常数，使得 。证明 任取.对任意存在子区间或,使得由,得,从而有故成立 .取 代入上式，则有。定理6 设则存在常数，使得，。定理7 设， .则存在常数，使得，为正整数，。定理8 设若在上一致收敛,在上一致收敛,则在上一致收敛.， 。定理10.21(魏尔斯特拉斯)闭区间上的任何连续函数能在这个区间上用多项式一致逼近,即设,则对任意,总能找到多项式,使得对中的所有的,均有。定理 设，则存在多项式序列，使得在上一致收敛于。定理 设，且，则存在多项式序列，使得在上一致收敛于，在上一致收敛于。证明 由于，根据魏尔斯特拉斯逼近定理，存在多项式序列，使得在上一致收敛于，令，显然仍是多项式，；从而得在上一致收敛于，在上一致收敛于。定理 设，则存在多项式序列，使得在中收敛于。
