《复变函数习题第一章答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数习题第一章答案.pdf（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 习 题 一 （A） 求下列复数z的实部与虚部、共轭复数、模与辐角： （1） i i i 1 31 ； （2） 2 ) 21 43 ( i i + 解 (1)z i i i = 1 31 22 11 )1 (3 + + = ii i 2 33i i + =i 2 5 2 3 =， 则 2 3 Re=z， 2 5 Im=z, iz 2 5 2 3 +=； 2 34 ) 2 5 () 2 3 ( 22 =+=z； ) 3 5 arctan(arg=z. (2)=z 2 ) 21 43 ( i i + 2 22 21 )21)(43( + + = ii 2 ) 5 105 ( i+ = 2 )2
2、1(i+=i 43=， 则 3Re=z，4Im=z; iz43+=； 5)4()3( 22 =+=z； =) 3 4 arctan(argz. 当x，y等于什么实数时，等式 i i yix += + + 1 35 )3(1 成立 解 原式等价于 )35)(1 ()3(1iiyix+=+，即 iyix52)3(1+=+， 根据复数相等的概念，有 2 = =+ 83 21 y x ， 即 = = 11 1 y x . 将下列复数化为三角式和指数式： （1） i 5； （2） 1； （3） 31i+； （4） i i + 1 1 解 (1) 这里0=x,5=y,则 5)5()0( 22 =+=z,
3、从而有0cos=,1sin=; 得 2 arg =z, 则三角式与指数式分别为: ) 2 sin() 2 cos(5 +=iz, i ez 2 5 =. (2) 这里1=x,0=y,则 1)0() 1( 22 =+=z, 从而有1cos=,0sin=; 得 =zarg, 则三角式与指数式分别为: )sin()cos(iz+=, i ez =. (3) 这里1=x,3=y,则 2)3() 1 ( 22 =+=z, 从而有 2 1 cos=, 2 3 sin=; 得 3 arg =z, 则三角式与指数式分别为: ) 3 sin() 3 cos(2 iz+=, 3 i ez 3 2 =. (4) i
4、 i + 1 1 2 2 11 )1 ( 22 2 ii = + =i= 这里0=x,1=y,则 1) 1()0( 22 =+=z, 从而有0cos=,1sin=; 得 2 arg =z, 则三角式与指数式分别为: ) 2 sin() 2 cos( +=iz, i ez 2 =. 4. 求下列各式的值： （1） 10 )31(i+； （2） 3 27 解 (1) 因为 ) 2 3 2 1 (231ii+=+ ) 3 2 sin 3 2 (cos2 i+= 所以 10 )31(i+) 3 20 sin 3 20 (cos210 i+= ) 3 2 sin 3 2 (cos1024 i+= i 3
5、512512+= (2)因为 )sin()(cos(2727+=i, 所以 3 27) 3 2 cos() 3 2 (cos(27 3 k i k+ + + =)2 , 1 , 0(=k, 4 ) 3 2 cos() 3 2 (cos(3 k i k+ + + =,)2 , 1 , 0(=k. 5. 指出下列各题中点z的轨迹或所在范围，并作图： （1）532=+iz; （2）12 + iz; （3）1)2Re(=+z; （4）3)Re(=z i; （5）122=+zz; （6）413=+zz; （7）Im2z ; （8）zarg0 解 (1) 设iyxz+=,则由532=+iz得 5)3()2
6、(=+yix， 即25)3()2( 22 =+yx. 点z的轨迹表示以iz32+=为圆心,以5为半径的圆周. (2) 设iyxz+=, 则由12 + iz得1)2(+yix， 即1)2( 22 + yx. 点z的轨迹表示以iz2=为圆心,以1为半径的圆的外面. (3) 设iyxz+=, 由1)2Re(=+z得,12=+x, 即3=x. 点z的轨迹表示3=x这条直线. (4) 设iyxz+=, 则ixyiyxiz i+=)(, 由3)Re(=z i得,3=y 点z的轨迹表示3=y这条直线. (5) 设iyxz+=, 由122=+zz, 得 5 iyxiyx+=+) 1(2)2(, 即 ) 1(4
7、)2( 2222 yxyx+=+ 化简得4)2( 22 =+yx, 点z的轨迹表示以2=z为圆心,以2为半径的圆周. (6) 设iyxz+=, 由413=+zz,得iyxiyx+=+) 1()3( 即4) 1()3( 2222 =+yxyx 化简得1 34 )2( 22 =+ +yx , 点z的轨迹表示以2=z为中心,以4为长轴,以32为短轴的 椭圆. (7) 设iyxz+=, 由2)Im(z得2y. 点z的轨迹表示2y的半平面. (8) 设iyxz+=, 又1 2 3 z z 得1 )2( )3( + + iyx iyx , 则 2222 )2()3(yxyx+, 化简得 2 5 x, 点z
8、的轨迹表示 2 5 x的半平面. 6. 函数 z 1 =把下列z平面上的曲线映射成平面上怎样的曲线？ 6 （1）4 22 =+ yx； （2）xy =； （3）1=x； （4）1) 1( 22 =+yx 解 2222 1 yx y i yx x z+ + =, 则 22 yx x u + =, 22 yx y v + =,得 (1) 4 1 22 =+ vu,是平面上一圆周. (2) vu=,是平面上一直线. (3) 2 1 1 y u + =, 2 1y y v + =,消去参数y,得uvu=+ 22 ,即 4 1 ) 2 1 ( 22 =+vu,是平面上一圆周. (4) 由1) 1( 22
9、 =+yx得xyx2 22 =+.即 2 1 =u,是平面上平 行v轴直线. 7. 已知映射 3 z=，求： （1）点iz = 1 ，iz+=1 2 ，iz+=3 3 在平面上的像； （2）区域 3 arg0 z在平面上的像 解 设 i rez =,则 333i erz =. (1) iz = 1 2 i e=,iz+=1 2 ) 4 sin 4 (cos2 i+=, iz+=3 3 ) 6 sin 6 (cos2 i+=. 则 iz= 3 11 ，iez i 22)2( 4 3 33 22 += ， 7 iez i 82 2 33 33 = . （2）因为辐角张大三倍，所以像为zarg0.
10、8. 下列函数在何处可导？在何处解析？ （1）iyxzf= 2 )(； （2）)sin(cos)(xixezf y += ； （3）yixxyzf 22 )(+=； （4）yxiyxzfsinhcoscoshsin)(+= 解 （1） 因iyxzf= 2 )(,即 2 xu =,yv=, 而x x u 2= ,1= y v ,0= y u ,0= x v 在复平面处处连续,但仅 当 2 1 =x时,才满足RC 方程.故)(zf仅在直线 2 1 =x上可导,在 复平面上处处不解析. （2）因)sin(cos)(xixezf y += ,即 xeu y cos =, xev y sin =, 而
11、xe x u y sin = ,xe y v y sin = ,xe y u y cos = ,xe x v y cos = 在复平面处处连续,且处处满足RC 方程.故)(zf在复平面上处处 可导,处处解析. （3) 因yixxyzf 22 )(+=,即 2 xyu =, yxv 2 =, 而 2 y x u = , 2 x y v = ,xy y u 2= ,xy x v 2= 在复平面处处连续， 8 但只在)0 , 0(点满足RC 方程.故)(zf在)0 , 0(处可导，在复平面上 处处不解析 （4）因yxiyxzfsinhcoscoshsin)(+=，即 yxucoshsin=，yxvs
12、inhcos=， 而 yx x u coshcos= ,yx y v coshcos= , yy y u sinhsin= ,yx x v sinhsin= 在复平面处处连续,且处处满足RC 方程.故)(zf在复平面上处处 可导,处处解析. 9. 指出下列函数的解析性区域，并求出其导数 （1） 3 ( )2f zziz=+； （2） 3223 ( )3(3)f zxxyx yy i=+； （3） 2 1 ( ) 1 f z z = ； （4）( ) azb f z czd + = + （c，d至少有一个不为零） 解 （1） 因为izzf23)( 2 +=,所以)(zf在复平面内处处解析. （2
13、）因为iyyxxyxzf)3(3)( 3223 +=，即 23 3xyxu=， 32 3yyxv=. 而 22 33yx x u = , 22 33yx y v = ,xy y u 6= ,xy x v 6= 在 9 复平面内处处连续，且处处满足RC 方程.故)(zf在复平面上处处 可导,处处解析. （3）因为 22 ) 1( 2 )( = z z zf在1=z点无意义,所以)(zf除 1=z点外,在复平面上处处解析. （4）若0=c,而0d,则有 d a baz d zf=+=)( 1 )(,在复平面上处处解析. 若0c,且 d c z,则有 2 )( )()( dcz bcad dcz b
14、az zf + = + + =,则除点 d c z=外,在复平面上 处处解析. 10. 下列复函数在点0=z处解析的是： （1） =+= += + + = ; 0, 0 , 0, )1 ()1 ( )( 22 33 iyxz iyxz yx iyix zf （2） z ezf=)(； （3） 2 )(zzf=； （4） 2 22 ,0, ( ) 0,0. x y z f zxy z =+ = 解 （1） 考察极限 z fzf z )0()( lim 0 , 当z沿虚轴0)0(=x时,有 10 iy fiyf y )0()( lim 0 i iy iy y += = 1 )1 ( lim 3 3 0 , 当z沿直线0)(= xy时,有 ixx ixxf xy + + = 0)( lim 0 2 33 0 2)( )1 ()
