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1、第四十七讲直线、平面垂直的判定及其性质班级姓名考号日期得分一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线()A.平行B.相交C.异面 D.垂直解析：这支铅笔与地面存在三种位置关系，若在地面内，则C排除；若与地面平行则B排除；若与地面相交，则A排除，选D.答案：D2.若m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A.若m，则mB.若m，n，mn，则C.若m，m，则D.若，则解析：两平面垂直并不能得到一个平面内的任一直线都与另一平面垂直，故A为假命题；以三棱
2、柱的侧面和侧棱为例知B为假命题；若，则或，故D为假命题；若m，则中必存在直线l与m平行，又m，l，故，故选C.答案：C3.(改编题)设P是ABC所在平面外一点，P到ABC各顶点的距离相等，而且P到ABC各边的距离也相等，那么ABC()A.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形C.是等边三角形D.不是A、B、C所述的三角形解析：设O是点P在平面ABC内的射影，因为P到ABC各顶点的距离相等，所以O是三角形的外心，又P到ABC各边的距离也相等，所以O是三角形的内心，故ABC是等边三角形，选C.答案：C4.把等腰直角ABC沿斜边上的高AD折成直二面角BADC，则BD与平面ABC所成角的正切值为 (
3、)A.B. C.1D.解析：如图，在面ADC中，过D作DEAC，交AC于点E.连接BE，因为二面角BADC为直二面角，所以BD平面ADC，故BDAC.由以上可知，AC平面BDE，所以平面BDE平面ABC，故DBE就是BD与平面ABC所成角，在RtDBE中，易求tanDBE，故选B.答案：B5.如图，已知ABC为直角三角形，其中ACB90，M为AB的中点，PM垂直于ACB所在平面，那么()A.PAPBPCB.PAPBPCC.PAPBPCD.PAPBPC解析：M为AB的中点，ACB为直角三角形，BMAMCM，又PM平面ABC，RtPMBRtPMARtPMC，故PAPBPC.选C.答案：C6.(20
4、10郑州质检)在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD1，则二面角BACD的余弦值为()A.B.C.D.解析：在原图中连接AC与BD交于O点，则ACBD，在折起后的图中，由四边形ABCD为菱形且边长为1，则DOOB，由于DOAC，因此DOB就是二面角BACD的平面角，由BD1得cosDOB，故选A.答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上.)7.正四棱锥SABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为.解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接
5、EF，EG，FG，EF交AC于点H，易知ACEF，又GHSO，GH平面ABCD，ACGH，AC平面EFG，故点P的轨迹是EFG，其周长为.答案：8.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF时，CF平面B1DF.解析：由题意易知，B1D平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可.令CFDF，设AFx，则A1F3ax.由RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.答案：a或2a9.、是两个不同的平面，m、n是平面及
6、之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：.解析：由题意构作四个命题：(1)；(2)；(3)；(4).易判断(3)、(4)为真，应填m，n，mn(或mn，m，n).答案：；评析：本题为条件和结论同时开放的新颖试题.10.(2010东城目标检测)过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，已知截面是等腰三角形，若侧面与底面所成的角为，则cos的值是.解析：本题考查二面角的求法.设侧面与底面所成的角为，如图，O为中心，SPB，又SPB为等腰三角形，有两种情况：(1)SPPB，OPSPcos；(2)SBPB，则SP AC，又BPAC
7、，OPBP，cos，综上可得：cos的值是或.答案：或三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤.)11.如图(1)，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点，如图(2)，将ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连接BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点. (1)求证：AEBD；(2)求证：平面PEF平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC？并说明理由.分析：由条件可知ABE为正三角形，要证AEBD，可证明AE垂直于BD所在的平面BDM，即证AE平面BDM；可用判定定理证明平面PEF平面AECD；对于第
8、(3)问可采用反证法证明.解： (1)证明：取AE中点M，连接BM，DM.在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ABC60，E是BC的中点，ABE与ADE都是等边三角形.BMAE，DMAE. BMDMM，BM，DM平面BDM.AE平面BDM.BD平面BDM，AEBD.(2)证明：连接CM，EF交于点N，连接PN，如图.MEFC，且MEFC，四边形MECF是平行四边形.N是线段CM的中点.P是线段BC的中点，PNBM.BM平面AECD，PN平面AECD.又PN平面PEF，平面PEF平面AECD.(3)DE与平面ABC不垂直，证明：假设DE平面ABC，则DEAB，BM平面AECD.BMDE.A
9、BBMB，AB，BM平面ABE，DE平面ABE.DEAE，这与AED60矛盾.DE与平面ABC不垂直.评析：翻折与展开是一个问题的两个方面，不论是翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相对变化，元素间大小与位置关系，哪些不变，哪些变化，这是至关重要的.12.如图所示，已知BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E、F分别是AC、AD上的动点，且(01). (1)求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC；(2)当为何值时，平面BEF平面ACD？解：(1)证明：AB平面BCD，ABCD，CDBC且ABBCB，CD平面ABC.又(01)，不论为何值，恒有EF
10、CD，EF平面ABC，又EF平面BEF，不论为何值，恒有平面BEF平面ABC.(2)由(1)知，BEEF，又平面BEF平面ACD，BE平面ACD，BEAC，BCCD1，BCD90，ADB60，BD，ABtan60，AC，由AB2AEAC得AE，故当时，平面BEF平面ACD.13.如图，在矩形ABCD中，AB2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP平面ABCD.(1)求证：DP平面EPC；(2)问在EP上是否存在点F使平面AFD平面BFC？若存在，求出的值.解：(1)证明：EP平面ABCD，EPDP，又ABCD为矩形，AB2BC，P、Q为AB、CD中点，PQDC且PQDC，DPPC，EPPCP，DP平面EPC. (2)如图，假设存在F使平面AFD平面BFC，ADBC，AD平面BFC，BC平面BFC，AD平面BFC，AD平行于平面AFD与平面BFC的交线l.EP平面ABCD，EPAD，而ADAB，ABEPP，AD平面EAB，l平面FAB，AFB为平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角，P是AB的中点，且FPAB，当AFB90时，FPAP，当FPAP，即1时，平面AFD平面BFC.9用心 爱心 专心
