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1、二次函数与方程、不等式基础知识：一、二次函数1 定义：形如（）的函数叫二次函数2 二次函数的有关性质 开口方向 对称轴方程 定义域x0ya0x0ya03 图象 4 二次函数的解析式 一般式： 顶点式：，其中（m，n）是二次函数图象的顶点 交点式：，其中是一元二次方程的两实根二、二次方程1 当中，时，即得到二次方程 其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标2 根的判别式0时，方程有两个不相等的实数根；0时，方程有两个相等的实数根；0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根3 根与系数的关系（韦达定理） 4 二次方程根的分布根的位置图象位置等价条件（）若有二根， 则 若有二根（2，3）则
2、三、一元二次不等式x0ya0x0yx0yx1 x2x0一元二次不等式（或0）的解集，即函数的自变量的取值范围，使其函数值（或0）的自变量的取值范围 例题：0x1 选择题对任意实数t都有，那么（ ）A B CD 解：由题意，的图象关于直线对称，且图象开口向上，画出示意图，由图象知，选A 已知在区间（，0）上单调递增，则a的取值范围是（ ）ABC且D或 解：由函数的单调性的定义知：x在（，0）上增大时，函数值y随之增大，故有以下过程： 0：0故必有0a21 1a1且a0选B 已知函数ylog（x26x7），则y（ ）A有最大值没有最小值B有最小值没有最大值C有最大值也有最小值D没有最大值也没有最小
3、值解： ux26x72，）而定义域要求u0，即u（0，） blog0.5u b（，）选D2 填空题方程有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是_解：令， 则，其函数图象如下：思考：a为何（范围）值时，方程无实数根？有四个实数根？有三个实数根？关于x的方程的两个实数根分别为，则的最小值是_解：方程有实数根，故或 又 或 （a3时取等号） 3 已知函数的图象与x轴无交点，求关于x的方程的根的范围分析：由于图象与x轴没有交点， 所以，解得a的取值范围 又对于每一个a值，原方程都是一元一次方程，但由于a是变化的，可知，x是a的二次函数，又再转化为二次函数在有限制的区间内的值域问题解：的图象与x轴
4、无交点，所以解得：2.5a3（1）当a（2.5，1时，方程化为 x（a3）（2a） a2a6（2）当a（1，3）时，方程化为x（a3）aa23a（4，18）综上所述：x（，18）4 设a，b为实常数，k取任意实数时，函数y（k2k1）x22（ak）2x（k23akb）的图象与x轴都交于点A（1，0） 求a、b的值； 若函数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的最大值分析：由A在曲线上，得k的多项式对k恒成立，即可求的a，b的值解：由已知条件，点A（1，0）在函数图象上，故（k2k1）2（ak）2（k23akb）0整理得：（1a）k（b12a2）0 对k，上式恒成立 1a0且b12a2
5、0从而a1，b1y（k2k1）x22（k1）2x（k23k1）设B（，0），则|AB|1|（k2k1）x22（k1）2x（k23k1）0的两个根为1、，由韦达定理1整理得：1时，得2k0 k01时， k， 即得：且 综合得： |AB|1|0，2即|AB|的最大值为25 设实数a、b、c满足a2bc8a70 b2c2bc6a60 求a的取值范围分析：如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题，转化为只含有a的不等式，是解决本题的关键，仔细分析观察方程组的特点，发现可以利用a来表示bc及bc，从而用韦达定理构造出a为变量的一元二次方程，由建立a的不等式解：由得：bca28a7 由得：（bc）2a
6、22a1 即bc（a1） 由得b，c为方程x2（a1）x（a28a7）0的两个实数根，由于b，cR，所以即：（a1）24（a28a7）0即：a210a90得：1a96 设二次函数（a0），方程的两个根满足I当x（0，）时，证明x；设函数的图象关于直线对称，证明：分析：由于涉及方程根的问题，故需用韦达定理来分析和解决证明： I令F（x）f（x）x因为x1、x2是方程f（x）x0的根，得 F（x）a（xx1）（xx2）当x（0，x1）时，由于x1x2，xx10，xx20得（xx1）（xx2）0，又a0，得 F（x）a（xx1）（xx2）0即xf（x）而x1f（x）x1xF（x）x1xa（xx1）（xx2）（x1x）1a（xx2）因为0xx1x2所以x1x0，1a（xx2）1a0得 x1f（x）0即 f（x）x1依题意知x0因为x1，x2是方程f（x）x0的根，即x1，x2是方程ax2（b1）xc0的根，所以 x1x2 x0因为，所以7 若关于x的二次方程7x2（p13）xp2p20的两根满足012，求实数p的取值范围解：设f（x）7x2（p13）xp2p2根据题意得：即 解得：p（2，1）（3，4）- 7 -用心 爱心 专心
