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1、平面向量的知识梳理及典例分析1. 向量的概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用字母a、b、c等表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如（A为起点，B为终点） （2）向量的大小（或称模）：也就是向量的长度，记作| （3）向量的两个要素：大小和方向 （4）零向量：长度为零的向量，记作0 （5）单位向量：长度等于一个长度单位的向量 （6）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（也叫共线向量）规定0与任何向量平行 （7）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量，记作a=b （8）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相反向量 2. 向量的运算 （1）向量的
2、加法 （3）实数与向量的积 （4）平面向量基本定律：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么该平面内任一向量a，有且只有一对实数我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底向量的数量积、定比分点和平移： 1. 平面向量的数量积 （1）定义 已知两个非零向量a、b，过O点作，则AOB=（）叫做向量a与b的夹角，其中，当且仅当a、b同向时；当且仅当a、b反向时，；如果a、b的夹角为90，则称a垂直于b，记作ab。a、b是两个非零向量，它们的夹角为，则称数叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即。规定：；当ab时，则ab=0ab的几何意义：ab等于a的长度与b在a的方向
3、上的投影的乘积 （2）性质：设a、b是两个非零向量，e是单位向量，于是有当a与b同向时，；当a与b反向时， 2. 线段的定比分点 （1）定义：设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数，使，叫做P分有向线段所成的比。 （2）关于的确定：当点P在线段内时，称点P为线段的内分点，此时，并且当点P在线段的延长线上时，称点P为线段的外分点，此时b”就没有意义，而|a|b|才是有意义的。易混点2平行向量与两线段平行 方向相同或相反的非零向量叫平行向量。我们规定0与任一向量平行，由此定义可知，平行向量主要是看它们的方向，并没有考虑它们的大小。 两向量平行与两线段平行
4、不同：两线段平行，则这两条线段不能在同一直线上；而两向量平行，则表示它们的有向线段可以在一条直线上。 向量a与非零向量b平行（共线）的充要条件是：有且只有一个实数使得。 若b为0，则b与任意的a都平行，当时，这样的是不存在的。即在b=0时，是a/b的充分而非必要条件。 在坐标表示下，设，则的充要条件是。易混点3平行向量与相等向量 方向相同或相反的非零向量叫平行向量，即共线向量，并且规定0与任一向量平行，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定零向量与零向量相等。 平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要不充分条件。易混点4数字0与零向量 数字0是一个既非正数又非
5、负数的数，0是唯一的方向不确定的向量，且|0|=0。易混点5向量的坐标与点的坐标 点的坐标与向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；只有起点在原点时，平面向量的坐标才与终点坐标相等。相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，如M（0，1），N（5，8），；，R（4，9），虽然，但M、N、Q、R四点的坐标各不相同。易混点6向量的数量积与实数a、b的乘积ab （1）从形和数两方面看，数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一个向量在其上的射影；从坐标形式上看，若设，则，因此两向量的数量积是一个数量，而不是向量。 （2）从运算律上看，实数的积满足结合律，即，但向量的
6、数量积不满足结合律，即。因为和都是实数，表示一个与a共线的向量，表示一个与c共线的向量，而a与c并不一定共线。非零实数满足消去律，即；但对向量的数量积则不成立，即。 （3）并不能导出a=0或b=0，可导出如下四种可能：；。而实数运算里ab=0，则a与b中至少有一个为0。易混点7两个向量的夹角与两条线段的夹角 两个向量的夹角是从同一点出发的两个向量所成的较小的非负角，范围是0，。 两条线段的夹角的范围，是直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时的锐（直）角。易混点8两个非零向量平行、垂直的坐标表示 设，则易混点9点平移与向量平移 平移公式（其中（x，y）表示平移前的坐标，（x，y）表示平移后的坐标
7、，（h，k）表示平移向量的坐标）。 揭示的是点沿着向量平移后，前后坐标的变化关系，向量平移不适合于平移公式，但向量的端点的平移满足平移公式，因为向量平移后仍然与原向量相等。【典型例题】 例1. （2003全国）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 剖析：上的单位向量，上的单位向量。 答案：B 解析：设上的单位向量，上的单位向量则的方向为BAC的角平分线的方向（如图所示） 又 而 点P在上移动 P的轨迹一定通过ABC的内心，故选B。 点悟：本题用到了向量加法的平行四边形法则及向量共线的充要条
8、件。 例2. （2005全国）已知向量，且A、B、C三点共线，则k=_。 剖析：依据三点共线的条件列方程或方程组求解 答案： 解析：解法一： A（k，12），B（4，5），C（,10） 又A、B、C三点共线，故 解之得 解法二： A、B、C三点共线 共线 解得 解法三： A、B、C三点共线 而 解之得解法四：A、B、C共线C是AB的定比分点，设C分AB的比为 则 即C分的比为 由定比分点坐标公式，得 点悟：本题四种解法均是以三点共线为线索，寻求关于y的方程而解之。 解法一借助直线斜率公式，是一种较简便的方法； 解法二利用了向量平行的充要条件的向量式，引入了字母； 解法三利用向量平行的充要条件的
9、坐标式，简捷明快； 解法四则应用有向线段定比分点坐标公式，运算量适中，值得注意。运用以上各方法，可解决由三点坐标判断三点共线的问题。 例3. ABC中，AB=5，AC=5，BC=6，内角平分线的交点为O，若，求实数与的和。 剖析：本题考查平面向量基本定理的应用 解析：如图所示，AB=AC=5，由已知D为BC的中点，由角平分线定理知 于是 又 点悟：要注意平面几何中公式、定理的应用。 例4. 已知，且存在实数k和t，使得，且xy，试求的最小值。 剖析：运用向量的坐标运算与的充要条件先求得k关于t的关系式，再将k关于t的关系式代入代数式后，利用求函数最小值的方法求解。 解析： 注意到 故有 由题设
10、有，即 即 将 代入上式，得 于是 故当时，有最小值 点悟：本例是向量函数应用的典例，首先由向量的数量积，结合垂直关系建立k与t的函数关系，再转化为求函数的最值问题，一般来说，凡与垂直有关的问题可用向量的数量积来解决。 例5. 如图所示，已知ABC的三顶点坐标分别为A（1，1）、B（5，3）、C（4，5），直线l/AB，交AC于D，且直线l平分ABC的面积，求D点坐标。 剖析：本题是平面几何知识与定比分点公式的综合应用题，应先确定D分的比，再利用公式求解。 解析：设直线l交BC于E，依题意， 又因为 故 所以CD：CA=1：，CD：DA= 即点D分的比为 设D的坐标为（x，y），由定比分点公式
11、得 D点坐标为 点悟：求解定比分点坐标的关键是求出定比的值，求的值除注意的符号外，还常常用到平面几何知识，如相似形的性质、比例线段等等。 例6. 在ABC中，求B及c。 剖析：本题考查解三角形，主要依据是正、余弦定理 解析：解法一：由正弦定理得 ab B有两解得B=60或B=120 当B=60时， 当B=120时，C=A=30 解法二：由余弦定理得 化简得 解得 当时， B=60 当时， C=A=30 B=120 点悟： 1. 在利用正弦定理或余弦定理解题时，一定不要忘记三角形其他的有关性质，也就是不要忘记隐含条件。 2. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，可能会出现一解或两解或无解的情况。 已知a、b和角A时，解三角形的各种情况为： （1）A为锐角时，情况如图所示中 （2）A为直角或钝角时，情况如图所示中 以上类型可通过正弦定理判断，若用余弦，则结合方程求解，往往计算量较大。 例7. 在ABC中，若sin2A+sin2C=sin2BsinAsinC （1）求B的大小； （2）求函数的值域。 剖析：利用已知条件直接求B的三角函数值困难，因此可用正弦定理将角化成边，求出B的余弦值即可。 解析：（1）由正弦定理将已知变形为： 又因为，所以B=120
