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1、 东北师范大学数学与应用数学2012级毕业论文 反循环矩阵性质的探讨作者 吴乐琼摘要 本文首先介绍了反循环矩阵的定义和性质，知道若一个反循环矩阵可逆，则它的逆矩阵一定也是反循环矩阵，介绍了反循环矩阵的逆矩阵的一些求法.讨论了反循环矩阵的相似性，指出了它可以被对角化,且反循环矩阵一定与循环矩阵相似.通过讨论了分块反循环矩阵的交换性、特征值及对角化问题,得到任一分块反循环矩阵可用一个正交矩阵组线性表示和基本分块反循环矩阵在复数域上可对角化且相似于对角阵的结论.对反循环矩阵特征值存在条件也作出了一定的探讨.通过实例从不同方面研究反循环矩阵在实际问题中应用，说明反循环矩阵的可用性、实用性、及其重要性.
2、关键词 反循环矩阵;基本反循环矩阵;逆矩阵;对角化;相似;正交矩阵组;特征值.1引言 根据所学的知识和经验，我们知道,反循环矩阵是一类很重要的矩阵,它在很多领域中都有着广泛的应用.如在编码理论,数理统计,理论物理,固态物理,结构计算,分子轨道理论,数学图象处理等方面应用很广.而反循环矩阵的逆、特征值问题,在力学振动系统设计,分子结构理论,线性多变量控制理论及数值分析等领域也经常出现.因此,自1950年提出反循环矩阵的概念以来,许多数学工作者对它进行了大量研究,得出很多成果.目前由于反循环矩阵的理论还不是很完善,而在实际生活中许多数学模型是有关反循环矩阵的,数学工作者对反循环矩阵的研究仍在继续着
3、.其中反循环矩阵的逆矩阵求法是多国数学工作者研究的一个热点.本文先给出反循环矩阵定义，给出反循环矩阵逆矩阵的求法、再对反循环矩阵的对角化、分块反循环矩阵对角化、反循环矩阵特征值一一作出了讨论2 反循环矩阵及其逆矩阵2.1 反循环矩阵的定义 定义1 复数域上形如 的矩阵称为阶反循环矩阵，记为 定义2 阶反循环矩阵 称为基本反循环矩阵，记为 2.2反循环矩阵逆矩阵的求法定理1设是第一行元素为的反循环矩阵,若可逆,则是第一行元素为的反循环矩阵,其中是线性方程组 的唯一解.这里是的转置矩阵. 证明 ,即 所以 适当调整以上方程组中方程及某些项的顺序后可化为矩阵方程可逆,所以可逆,所以方程组有唯一解.
4、定理2设反循环矩阵可逆,则是第一行元素为的反循环矩阵,其中分别是的第一行元素的代数余子式.根据定理2立即可证.2.3 反循环矩阵的线性表示 定理3 设有阶基本反循环矩阵和阶反循环矩阵则有 1) 2)设则有 证 1)令表示第个分量为1，其余各分量均为0的维单位列向量，则 用数学归纳法证明: 当时结论显然成立，假定时结论成立，即 则 = = = = 于是 =2)=定理4 阶反循环矩阵可以由基本反循环矩阵的方幂线性表出，反过来，如果矩阵可以由基本反循环矩阵的方幂线性表出，那么一定为反循环矩阵.证 令,其中,这样，阶反循环矩阵可由一个次数不高于的多项式唯一确定，称为的生成多项式.定理5 设和为两个反循
5、环矩阵，则1) 是反循环矩阵.2) 是反循环矩阵，且3) 是反循环矩阵.证 1)设,则显然是阶反循环矩阵，且 2)由定理3 注意到为非负整数.易知 3)显然仍为反循环矩阵. 定理6 若是阶反循环矩阵，且可逆，则也是阶反循环矩阵. 证 设 令 .则 以上关于的线性方程组的系数矩阵,即由可逆知,所以线性方程组有唯一解，从而使线性方程组成立的阶反循环矩阵存在，它是的逆矩阵，也是的反循环矩阵.3 反循环矩阵对角化3.1 反循环矩阵对角化 定理7任何阶反循环矩阵在复数域上都可以对角化.证设第 5 页 共 18 页其中取-1的全部次方根为: 令 则且易证 所以 .即对任意的反循环矩阵,在复数域上都可以对角
6、化. 而且从上述证明过程可以看出: 推论1存在复满秩矩阵,将所有阶反循环矩阵同时对角化. 推论2设其中且,则矩阵的特征根为:且 . 推论3的列向量.是的个线性无关的特征向量,而且与无关.证因为 ,当然线性无关.又由(2)式知: .即是的个线性无关的特征向量,又由推论1知,与无关. 定理 8 反循环矩阵一定与循环矩阵相似. 证明: 设 为一反循环矩阵, 的生成多项式为 , 为一循环矩阵 令则,则 的生成多项式为 .由定理7可知存在可逆矩可将对角化,即. 欲证 存在, 由相似关系的传递性, 欲使 与 相似, 只需 与 相似,所以令 即此方程组的系数矩阵就是 由于, 所以线性方程组存在唯一解故与相似
7、. 定理 9设为一个阶方阵, 则在复数域上可对角化的充要条件是: 与某个阶反循环矩阵相似. 证明 充分性 :若和某个阶反循环矩阵相似, 由定理 1和相似关系的传递性知 可以对角化.必要性 : 若 可以对角化,则存在满秩方阵, 使 令.考虑如下方程组: (1)由于(1)的系数行列式的值为 .故(1)有唯一解, 设其解为,则是一个反循环矩阵，由定理1知: = 于是, 即 与反循环矩阵相似.3.2分块反循环矩阵及其对角化3.2.1分块反循环矩阵定义 定义3设称阶矩阵 为由生成的分块反循环矩阵，并称为矩阵的生成元，记为 定义4设为阶单位矩阵，在不致引起混淆的情况下，有时记为，称为阶基本分块反循环矩阵，
8、简称基本矩阵.易知: 定义5 一组矩阵称为正交矩阵组，如果满足条件 (1) (2). 引理1 (1) 对任一自然数有 即 (2) 引理2 设,为同阶分块反循环矩阵，则 (1)为分块反循环矩阵.第 10 页 共 18 页 (2)为分块反循环矩阵. 引理3 对任一,与可交换当且仅当为分块反循环矩阵,且的分块与一致(即).证明 记的分块为其中则等价于以下形式= (2) 等式左端的右乘分块矩阵中，矩阵出现在第个分块位置上.由(2)式导出 ,同时比较等式两边第一列中元素可得 ,若令 但易知命题得证.3.2.2分块反循环矩阵对角化 定理10矩阵为分块循环矩阵当且仅当可表示为的一个右乘多项式，即存在矩阵多项
9、式 (3) 使 (4) 证明 充分性 若,则取,易知,从而充分性得证. 必要性 假如有如(3)，使得成立,记 且为整数，则=有引理2知为分块反循环矩阵. 定理2 设,都是同阶的分块反循环矩阵，则是分块反循环矩阵，且,其中 , (5)证明=,注意到与均可交换，故有,其中,故有.以下考虑分块反循环矩阵的对角化间题，为此先考虑基本矩阵的对角化问题,若取则在实数域上不可对角化，在复数域上可对角化，事实上，我们有如下结论.定理12 阶基本矩阵在复数域上可以对角化，且相似于对角阵,其中 , (6) 证明 易知的特征多项式 = = =,其中，, 又可对角化当且仅当 , (7) 下证(7)式成立.事实上,对于
10、任意的整数, (8) (8)对于,我们将(8)式的第列乘以分别加到第列上，可得 (9) 注意到,故(9)式中的第位置上的分块矩阵为零,于是，即(7)式成立，从而可对角化.进一步由(6)知相似于 定理13 设，则可由正交矩阵组线性表示,进一步我们有 (10)其中,为正交矩阵组. 证明 由定理3知可对角化,所以存在可逆矩阵,使.令 ,则有(1) (2) (3)由定义5知为正交矩阵组，且.所以=证毕. 我们知道对于一般的分块反循环矩阵不一定可对角化，但下面定理表明一定准对角化.为方便起见，我们记 (11)令为一个范德蒙矩阵,其中,. 定理14 设,为（11）式定义的，则(1) 可准对角化，且,其中;
11、(2) ,其中是的特征根.证明 (1)因为 ,所以可逆,易知,既得(1).(2) 由（1）知 =.即得(2).4. 反循环矩阵的特征值给定一个阶方阵，就可以在复数范围内求出它的特征值.反之，给定 个复数，是否存在阶反循环矩阵,使是矩阵的个特征值呢？以下讨论的矩阵均为阶矩阵，并设则(阶单位阵)都是反循环矩阵.设是反循环矩阵，则.其中.易知的特征值.其中 ,. 和的特征值是. 定理15 给定个复数,则存在阶反循环矩阵,使得的特征值是;满足上述要求的反循环矩阵至多有个.其中分别表示中所有相异数的重复数. 证明 构造线性方程组其中是反循环矩阵的个特征值;是未知数;是的一个排列.由于系数矩阵为范德蒙行列
12、式，且互不相等，故上述线性方程组的系数行列式不等于零,由克莱姆法则，上述线性方程组有唯一解. 构造反循环矩阵.则的特征值是 .其中.由于是上述线性方程组的解，因此.即得特征值是.由于的排列至多只有个.其中是中所有互异数的重复数.因此，满足定理要求的反循环矩阵至多有个.结束语总之,知识来源于人类的实践活动,又反过来运用到改造世界的实践活动中,其价值也就在于此.本文通过探讨反循环矩阵性质、逆矩阵求法、对角化、相似性,以期在编码理论、数理统计研究中起到抛砖引玉的作用.愿我们的广大学生与经济工作者,学好用好数学,让数学知识变得更加有用,更好的为祖国的经济建设服务.参考文献1北京大学数学系.高等代数M.北京:高等教育出版社,1999.2樊晖,等.代数学辞典Z.武汉:华中师范大学出版社,1994.
