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1、1.3 克莱姆法则 （n个n元线性方程组解的讨论）,引入行列式概念时，求解二、三元线性方程组，当系数,行列式,时，方程组有唯一解，,含有n个未知数，n个方程的线性方程组，与二、三元线性方 程组类似，它的解也可以用n阶行列式表示。,Cramer法则：,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，,即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,则线性方程组(1)有唯一解，,证明：,再把 方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组(2)有唯一的一个解,上式中除了,的系数等于D,其余,的系数均等于0，而等式右端为,由于方程组(2)与方程组(1
2、)等价,所以,也是方程组的(1)解。,注:,1. Cramer法则仅适用于方程个数与未知量个数相等的情形。,理论意义：给出了解与系数的明显关系。 但用此法则求解线性方程组计算量大，不可取。,3. 撇开求解公式,Cramer法则可叙述为下面定理：,定理1：,定理2：,线性方程组,则称此方程组为非齐次线性方程组。,此时称方程组为齐次线性方程组。,非齐次与齐次线性方程组的概念:,齐次线性方程组,易知，,一定是(2)的解， 称为零解。,若有一组不全为零的数是(2)的解，称为非零解。,有非零解.,系数行列式,定理3：,定理4：,如果齐次线性方程组有非零解， 则它的系数行列式必为0。,例1 用克拉默则解方程组,解,解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,1. 用克拉默法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系数行列式不等于零.,2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.,4.小结,思考题,当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?,思考题解答,不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.,
