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1、1.3 行列式,行列式是线性代数中的有用工具,在研究方程组的解以及研究矩阵的性质等问题时,都需要用到行列式,因此行列式是线性代数里的一个重要基础知识。,1.3.1 二阶、三阶行列式,称为二阶行列式,并且规定二阶行列式的值为,即,例如,例1.9 用消元法解二元线性方程组,解 对于方程组用加减消元法，得,当 时，得到方程组的唯一解,所以方程组的解可以用二阶行列式表示为,称为三阶行列式,并且规定三阶行列式的值为,即,例1.10 求三阶行列式 的值。,解,由一个数组成的行列式就是这个数本身。即,下面我们再来看下三阶行列式的计算方式,1.3.2 阶行列式,其中 分别为划去元素 所在行与列的元素后剩下元素
2、组成的行列式.并且当该元素下标之和为奇数时取负号,为偶数时取正号.,我们可以用同样的方法给出 阶行列式的定义和计算方法.,定义1.9 由 个元素组成的式子,称为 阶行列式,将其定义为,其中,是在 阶行列式 中划去元素 所在第 行与第 列的元素后剩下元素按原来相对顺序构成的 阶行列式.因此称 为元素 的余子式。即,并称 为元素 的代数余子式。,对称地按列可以定义 阶行列式的值为,的代数余子式为,例如 中， 的余子式为,例1.11 设四阶行列式,的余子式为,的代数余子式为,例1.12 计算 阶行列式(称为下三角形行列式),解,例 1.13 计算行列式,解 按最后一行展开，得,1.3.3 方阵的行列
3、式,定义1.10 设 阶矩阵,由定义1.2知, 阶方阵仅仅是由 个数组成的一个正方形表，而 阶行列式则不同，表示的是一个数，但行列式与矩阵之间有一定的关系。,则称行列式,为矩阵A的行列式,记作detA.,关于方阵的行列式有如下重要的性质：,同阶方阵 与 的乘积的行列式等于 的行列式与 的行列式的乘积,即,这一性质还可以推广到多个矩阵相乘的情况：,例1.14 设 ,求 。,解,此例若按第一列展开，则有,的行列式是上三角形行列式，所以,1.3.4 行列式的性质,定义1.11 将行列式 的行写成列，列写成行所得的行列式称为 的转置行列式，记作 ，即,那么,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,由性质
4、1可知，行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,推论 行列式有两行（列）完全相同，则行列式等于零。,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,例如,则,性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,由例题1.12知三角形行列式的值就等于对角线上
5、元素的乘积,因此利用行列式的性质将一个行列式化为三角形行列式就可以很快求出行列式的值,这就是化三角形法计算行列式,例1.15 计算,解,例1.16 计算,解,例1.17 计算,解,由行列式的定义和性质2的推论可以得到,定理1.1 行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积的和等于零即,综合定理1.1和行列式定义得到,例1.18 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,证 用数学归纳法,即,下面来证明对于 阶范德蒙德行列式，结论也成立.,对于 ，依次将第 行的 倍加到第 行，将第 行的 倍加到第 行，将第一行的 倍加到第二行，得到,对于 阶范德蒙德行列式，由归纳法假设，有,从而,故由归纳法原理，对一切正整数 ，结论成立.,
