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1、2020/6/21,线性代数,1,第四节 线性方程组解的结构, 齐次线性方程组解的结构, 非齐次线性方程组解的结构, 解的性质,2020/6/21,线性代数,2,齐次方程组解的性质,设方程组为 AX=O ，,证明：因为,则有,齐次方程组的解对加法封闭.,性质1 若 为齐次方程组AX=O的解，则 也是AX=O的解。,即 是AX=O的解。,P.141(145),（一） 齐次线性方程组解的结构,2020/6/21,线性代数,3,证明：因为,则有,齐次方程组的解对数乘封闭.,性质2 若 为齐次方程组AX=O的解，则 也是AX=O的解。,即 是AX=O的解。,性质3 若 是AX=O 的解，则 为AX=O
2、的解。,2020/6/21,线性代数,4,当 r(A)=rn 时，方程组有无穷多个非零解。,一般解为：,2020/6/21,线性代数,5,问题：,1. 解之间有什么联系？,2. 那些解是最基本的？,答案是：用解向量的极大无关组表示全部解，即：解的结构。,3. 怎样求这些最基本得解？,2020/6/21,线性代数,6,设方程组 AX=O 的全部解向量为：,设(I)的一个极大无关组为：,称 (II) 为 AX=O 的一个基础解系(P.146定义3.9)。,满足：,(1) i 是AX=O 的非零解；,(2) 线性无关；,(3) 每个解都可由(II)线性表示。,问题：基础解系存在吗？若存在，有多少个向
3、量？,怎样求基础解系？,2020/6/21,线性代数,7,定理3.13 (P.141(6) 若r(A)=r n，则方程组AX=O 有基础解系,且所含解向量的个数为 n-r,n-r 个自由未知量,分别取,24,2020/6/21,线性代数,8,得n-r个解：,(2) 由于 线性无关，,2020/6/21,线性代数,9,代入同解方程组得：,2020/6/21,线性代数,10,2020/6/21,线性代数,11,由Th3.10(P.135(139)知，,故它是方程组的一个基础解系。,因此， AX=O 的通解或全部解可表示为：,其中 为任意常数。,推论,设 AX=O, r(A)=rn。则,（1）任何
4、n-r 个线性无关的解向量都是基础解系；,（2）每一个基础解系都含 n-r 个解向量；,（3）任何 n-r+1 个解向量都线性相关。,(4) 若r(A)=n,则AX=O无基础解系。,2020/6/21,线性代数,12,求AX=O 通解的步骤：,（1）化(AO)或A为行简化阶梯形矩阵，得同解方程组；,（2）自由未知量分别取,代入同解方程组，得基础解系：,（3）写出通解。,注：自由未知量的取值 只要 n-r 个n-r 维向量线性无关即可。,2020/6/21,线性代数,13,例 （P.144(149)例1）求方程组的全部解。,且同解方程组为：,因r(A)=24，所以齐次方程组有非零解。,2020/
5、6/21,线性代数,14,自由未知量 分别取,得基础解系：,方程组的通解：,其中 为任意常数。,注,自由未知量 若 分别取,则v1 ,v2 的分量为整数，,P.150例2,2020/6/21,线性代数,15,例, 为何值时，方程组有非零解？并求全部解。,解,法一 求参数和求解同时进行,2020/6/21,线性代数,16,方程组有非零解。,同解方程组为：,练习 求全部解,3个未知量！,分别取,得基础解系：,2020/6/21,线性代数,17,通解,基础解系中有1个向量。,取1，得基础解系：,得同解方程组：,问： 能否取0？,法二：本题可用 |A|=0求,不能！,2020/6/21,线性代数,18
6、,例(P.146(152) 满足 AB=O， 证明：,证明思路：,证 令,先证B 的每列都是AX=O的解，再由Th3.13可得结果。,得,即 为AX=O的一组解，,故,A,B不一定是方阵,小结论：,2020/6/21,线性代数,19,练习,设三维向量 是齐次方程组 AX=O 的基础解系，,求 a, b。,解,由已知条件得 AX=O 是三个未知量，三个方程的齐次方程组，,且 r(A)=1.,(因基础解系向量个数 23r(A) ),故 a= - 2, b=3.,思考题：能否由|A|=0来定a,b?,因为其结果包含了r(A)=2的情形，与题设不符。,不能！也只有一个等式,2020/6/21,线性代数
7、,20,练习,已知三阶矩阵 ，且B 的每个列向量都是方程组,解,（2）证法一,由B 的各列是AX=O 的解得：,AB=O,思路：证 r(B)3，从而得|B|=0.,2020/6/21,线性代数,21,证法二：(用Th3.13),故 |B|=0.,由 AB=O 得,与 矛盾。,则 B 可逆，,由B 的各列是AX=O 的解得：,AB=O,证法三 （反证法）：,假若,故 |B|=0。,2020/6/21,线性代数,22,（二） 非其次线性方程组解的结构,定理3.1,复习：,2020/6/21,线性代数,23,有无穷多解时，其一般解为：,问题：怎样用少数解向量表示这无穷多个解？,2020/6/21,线
8、性代数,24,非齐次方程组 AX=b (1),(1) 的导出组 AX=O (2),性质 (P.147（153）),1. 是(1) 之解， 是(2) 之解，, 是(1) 之解。,2. 是(1) 之解，, 是(2) 之解。,即 是(2) 之解。,证,证,2020/6/21,线性代数,25,但有（P.163 27题 (170 21题)）：,证,2020/6/21,线性代数,26,定理3.14 (P.147(153),（特解），, 是导出组（2）之全部解,（通解）,非齐次方程组的通解为: 非齐次方程组的特解加导出组的通解,即,28,2020/6/21,线性代数,27,证法一（见P.148(153)）,
9、证法二（反证法）,这与（A）是（2）之全部解矛盾，,故 （B）是（1）之全部解。,（现证明是全部解）,而（2）之解又可用基础解系表示，,故得（1）之解为：,其中 为(2)之基础解系.,2020/6/21,线性代数,28,求AX=b 通解的步骤：,化(Ab)为行简化阶梯形矩阵，判别有无解， 若有解转入2；,2. 由1 得（1）的同解方程组，并求特解；,3. 由1得（2）的同解方程组，并求基础解系；,4. 写出通解。,31,例（P.154）,2020/6/21,线性代数,29,例（P.148(154)）,其同解方程组为：,2020/6/21,线性代数,30,导出组的同解方程组为：,原方程组的通解为
10、：,问：能否按下述方法求基础解系1,2?,2020/6/21,线性代数,31,例 设方程组, 为何值时方程组有解？有解时求全部解。,解,方程组有解。,练习：,2020/6/21,线性代数,32,导出组的同解方程组：,得基础解系：,原方程组的通解：,同解方程组：,2020/6/21,线性代数,33,答案:(b),练习：,2020/6/21,线性代数,34,2020/6/21,线性代数,35,例 设 是非齐次线性方程组AX=b 的一个特解，,是导出组AX=O 的基础解系，,（1）证明向量组：,线性无关；,（2）求AX=b 的所有解向量组成的向量组的秩。,证,整理得：,思路：利用 和 分别是AX=b和AX=O的解，分两步证明必有 全为零及 为零。,2020/6/21,线性代数,36,2020/6/21,线性代数,37,（2）由性质知，,整理可得：,设 是AX=b 的任意一个解，有：,故AX=b 的解向量组的秩为,2020/6/21,线性代数,38,2020/6/21,线性代数,39,练习,1. 求非齐次线性方程组的通解,解：,2020/6/21,线性代数,40,特解,因为 方程组有解， 且其同解方程组为,导出组的同解方程组,，,得基础解系：,则原方程组的通解：,谢谢！,
