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1、,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,换元积分法,第四章,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即, 凑微分法),例1. 求,解: 令,则,故,原式 =,注: 当,时,注意换回原变量,例2. 求,解:,令,则,想到公式,例3. 求,想到,解:,(直接配元),例4. 求,解:,类似,例5. 求,解:, 原式 =,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,例9. 求,解法1,解法2,两法结果一样,例10. 求,解法1,解法 2,同样可证,或,
2、(P199 例18 ),例11. 求,解: 原式 =,例12 . 求,解:,例13. 求,解:,原式 =,例14. 求,解: 原式 =,分析:,例15. 求,解: 原式,小结,常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙换元或配元,万能凑幂法,利用积化和差; 分式分项;,利用倍角公式 , 如,思考与练习,1. 下列各题求积方法有何不同?,2. 求,提示:,法1,法2,法3,作业,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法 .,难求，,定理2 . 设,是单调可导函数 , 且,
3、具有原函数 ,证:,令,则,则有换元公式,例16. 求,解: 令,则, 原式,例17. 求,解: 令,则, 原式,例18. 求,解:,令,则, 原式,令,于是,说明:,1. 被积函数含有,除采用三角,采用双曲代换,消去根式 ,所得结果一致 .,( 参考 P204 P205 ),或,代换外, 还可利用公式,2. 再补充两个常用双曲函数积分公式,原式,例19. 求,解: 令,则,原式,当 x 0 时, 类似可得同样结果 .,小结:,1. 第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,第四节讲,2. 常用基本积分公式的补充 (P205 P206),7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
4、,令,解: 原式,(P206 公式 (20) ),例20. 求,例21. 求,解:,(P206 公式 (23) ),例22. 求,解: 原式 =,(P206 公式 (22) ),例23. 求,解: 原式,(P206 公式 (22) ),例24. 求,解: 令,得,原式,例25. 求,解: 原式,令,例16,例16,思考与练习,1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?,令,令,令,2. 已知,求,解: 两边求导, 得,则,(代回原变量),P207 2 (4) , (5) , (9) , (11) , (12) , (16) , (20) , (21) , (23) , (28) , (29) , (30) , (32) , (33) , (35) , (36) , (38), (40) , (42) , (44),作业,第三节,备用题 1. 求下列积分:,2.,求不定积分,解：,利用凑微分法 ,原式 =,令,得,分子分母同除以,3.,求不定积分,解:,令,原式,谢谢！,
