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1、 2014 届本科毕业论文（设计） 论文题目： 函数极值的理论及其应用 所在院系： 数学科学学院 所学专业： 数学与应用数学 完成时间： 2014-05-20 函数极值的理论及其应用摘 要函数的极值不仅是反映函数性态的一个重要特征，而且在解决实际问题中也占有极其重要的地位。很多经济和生活中的问题都可以转化为数学中的函数极值问题进行讨论，从而得到该问题的最优方案。本文主要探讨函数极值的理论及求解方法，并附以相应的例子阐明函数极值在实际问题中的应用，重点探讨一元函数和多元函数的极值理论及应用等问题。关键词：函数极值，多元函数，极值应用The Extreme Value Theory of Func
2、tion and its ApplicationsAbstractThe extreme value is not only a significant characteristic of a function, but also play an important role in solving practical problems. A lot of problems in the economy and life can be transformed into the function extremum problems, thus the optimal solution of the
3、se problems can be obtained. This thesis mainly discusses the theory and its corresponding solving methods of the function extreme value, together with the corresponding extreme value theory to practical problems in the application. The main contents focus on the theory and applications of the singl
4、e variable functions and multivariate functions.Keywords: Function extreme value, Multivariate functions, Application of extreme value theory目 录一、引言1二、一元函数极值理论及其判别方法22.1 一元函数极值的概念22.2 一元函数极值的判定22.3 一元函数极值的求解3三、多元函数的极值理论及其判别方法33.1 二元函数极值的概念33.2 二元函数极值的判定33.3 二元函数两类极值的求解43.4 n元函数极值的概念63.5 n元函数极值的判定63.
5、6 n元函数两类极值的求解7四、函数极值理论的应用94.1 一元函数极值的应用94.2 二元函数极值的应用104.3 n元函数极值的应用114.4 函数极值在经济生活中的应用12五、结论13参考文献14谢辞15一、引言1.1 概论函数极值作为函数性态的一个重要特征，无论是在数学领域还是其他学科领中都有着不可替代的地位。在这样快速发展的时代，许多现实生活中的问题的解决最终都归结于求极值或最值问题，以尽可能达到人们的预期效果。为此我们通常把实际问题通过数学建模等形式建立与函数之间的联系，从而通过函数性态或函数特征来求得最优解。由此可见，函数的极值理论对人们的生产、生活都有着非凡的意义，因此研究函数
6、的极值理论就显得尤为重要。本文将系统的介绍一元函数、多元函数的极值理论。其次，将会介绍一些判别函数极值的方法。最后，会将主要结论应用于解决实际生活中的数学问题。1.2 研究的背景在数学分析中的函数极值问题研究的基础上，常把极值理论在实际生活中加以推广应用。遇到实际问题时，一般先是通过对实际问题进行具体的分析，从而通过分析建立适当的函数关系再进而转化为函数中的极值问题进行研究。虽然无论是在国内还是国外，这方面的理论均已比较完备，但将它们经过系统的整理以便应用于实际生活仍很重要。1.3 研究现状在函数极值理论的研究中，由于其牵涉到的变量会比较多，所以求解复杂的多元函数的极值问题有时也会比较困难。目
7、前国内外关于函数极值的求解方法有代入法、拉格朗日乘数法、不等式法等。总体来说，函数极值问题的研究已经形成了比较完善的体系。1.4 研究的目的与意义为了将数学分析中的极值原理在实际生活中得以更好的应用，故需要对此进行系统的归纳、总结。极值问题无论是在经济生活还是工农业的生产中都有着极其广泛的应用，通常应用于解决如何使投入少，而利润最大化，用料最省等问题，由于这些问题的解决能使我们更好更快的进入高水平的生活，所以极值理论在现实生活中有着不可替代的地位。二、一元函数极值理论及其判别方法2.1 一元函数极值的概念定义12.1.1 设函数在区间内有定义，不妨设是内的一个点。(1) 若存在点的一个邻域，并
8、且对于该邻域内的任何点，除了点外，都有恒成立，则就称为函数的一个极小值。(2) 若存在点的一个邻域，并且对于该邻域内的任何点，除了点外，都有恒成立，则就称为函数的一个极大值。函数的极大值与极小值均称为函数的极值，且使函数取得极值的点称为极值点。2.2 一元函数极值的判定定理12.2.1 极值的第一充分条件：设函数在点处连续，且在某邻域上可导。(1) 如果当时恒有，而当时有，则在点处取得极小值。(2) 如果当时，当时，则在点处取得极大值。定理12.2.2 极值的第二充分条件：设函数在的某邻域上一阶可导，在处二阶可导，且。(1) 若，则在处取得极小值。(2) 若，则在处取得极大值。证明：由已知条件
9、可知，在处的二阶泰勒公式，由于.因此 （1）又因，故存在正数，当时，与同号。因此，当时，（1）式取负值，从而在任给的有。可知，在处取得极大值。定理12.2.3 极值的第三充分条件：设在处的某邻域内存在直到n-1阶的导函数，在处n阶可导，且有，则(1) 当n为偶数时，在处取得极值，且当时取得极大值，当时取得极小值。(2) 当n为奇数时，在处不取极值。证明：类似于定理2.2.2的证明过程，这里省略。2.3 一元函数极值的求解通常情况下，求解函数极值的步骤如下： (1) 确定函数的定义域； (2) 求驻点以及使不存在的点； (3) 判断在点左右的正负号，并判断是否为极值点； (4) 求出相应的极值。
10、三、多元函数的极值理论及其判别方法3.1 二元函数极值的概念定义13.1.1 设函数在点的某邻域内有定义。如果对于任意点，成立不等式则称函数在点取得极大值（极小值），点成为的极大（极小）值点。极大值与极小值统称为极值。极大值点、极小值点统称极值点。3.2 二元函数极值的判定定理13.2.1 二元函数极值的充分条件：设二元函数在点的某邻域上具有二阶连续偏导数，且是的稳定点。则当是正定矩阵时，在点取得极小值；当是负定矩阵时，在点取得极大值；当是不定矩阵时，在不取极值。其中(1) 当时，在取得极小值。(2) 当时，在取得极大值。(3) 当时，在不能取得极大值。(4) 时，不能肯定在是否取得极值。证明
11、：由条件可知，在点的二阶泰勒公式，且已知，有。由于正定，故对任意，都有二次型。因此必存在一个与无关的正数，使得.因此，对任何充分小，只要，必有。所以在点取得极小值。同理，可证为负定矩阵时，在点取得极小值。下证当为不定矩阵时，在点不取极值。（反证法）假设能取到极值点，不妨设能取到极小值点。可知，沿任何过点的直线也必取得极小值。我们有一元函数极值的充分条件可知。又因为表明必为正半定矩阵，这与假设矛盾。所以在点不取极值。3.3 二元函数两类极值的求解3.3.1 极值的分类：(1) 无条件极值问题：对于函数的极值问题，除了限制自变量在其定义域范围内的变化外，没有其他条件限制的极值问题称为无条件极值问题
12、。(2)条件极值问题：在很多实际应用问题中，通常在建立目标函数之后，会发现变量之间还要受到其他条件的约束，像这类带有其他约束条件的极值问题称为条件极值问题。一般形式为：求函数的极值，其中受条件的限制。3.3.2 两类极值问题的求解:(1) 无条件极值问题求解：根据定义求解。(2) 条件极值问题求解3：方法一：可将条件极值问题中的条件代入到目标函数中，从而转化为无条件极值问题求解。方法二：拉格朗日乘数法：欲求函数的极值，其中受条件的限制。引入辅助变量和辅助函数，其中称为拉格朗日乘数，为拉格朗日函数。点为条件极值点的必要条件是满足以下方程组：点是否为极值点，一般可由问题本身的性质做出判定（或利用所
13、确定的隐函数代入到目标函数中，再有无条件极值的判别条件进行判别）。方法三2：设二元函数在点的邻域内满足：内有连续的偏导数，是该邻域内任意一点。(i)如果,则在处取得严格极大值。(ii)如果,则在处取得严格极小值。证明：构造辅助函数，易知。且在上连续，在可微，故有一元函数的拉格朗日中值定理可知，存在一个使得。也即是说 （2）其中又因为所以，即是说。又因为将其代入（2）式可得，；如果对于任意的，有，则，所以，故在处取得严格极大值。如果对于任意的，有，则，所以，故在处取得严格极小值。3.4 n元函数极值的概念设函数在点的某邻域内有定义。如果对于任何点，成立不等式，则称函数在点取得极大值（极小值），相
14、应的点就成为的极大（极小）值点。极大值与极小值统称为极值。极大值点、极小值点统称为极值点。3.5 n元函数极值的判定多元函数极值的充分条件：设是多元函数在区域内的稳定点。如果函数在处的黑赛矩阵(Hesse)是正定矩阵时，在点取得极小值；当是负定矩阵时，在点取得极大值；当是不定矩阵时，在不取极值。其中.3.6 n元函数两类极值的求解3.6.1 极值的分类：(1) 无条件极值问题：函数中的自变量只受定义域约束的极值问题。(2) 条件极值问题：函数中的自变量除受定义域的约束外，还受其他条件限制的极值问题。一般形式：在条件组的限制下，求目标函数的极值。3.6.2 两类极值问题的求解：(1) 无条件极值问题的求解4：方法一：用函数的正定性解决三元以上的函数的极值问题。定义1：设实二次型如果对于任意的，有，这时称为正定二次型，为正定矩阵。如果对于任意的，有，这时称为负定二次型，为负定矩阵。如果对于任意的，有，且存在使，这时称为半正定（半负定）二次型，为半正定（半负定）矩阵。如果对于任意的，有，而对另一些有，则称为不定二次型，为不定矩阵。定义2：设n元函数在某邻域内有连续一、二阶的偏导数，记，则称为函数点处的梯度，记作。定理1：设n元函数对每一个自变量都具有一阶连续的偏导数。是的一个驻点。则在取得极值的必要条件是。定理2：设函数在点的某个邻域内有一阶、二阶连续的偏导数，记=0，则
