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1、二次根式复习知识点一:二次根式的概念二次根式的定义:形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义【注】二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数a必须是非负数。二次根式的判定【例1】下列各式1),其中是二次根式的是_(填序号)举一反三:1、下列各式中,一定是二次根式的是( )A、 B、 C、 D、2、在、中是二次根式的个数有_个二次根式有意义的运用【例2】若式子有意义,则x的取值范围是 来源:学*科*网Z*X*X*K举一反三:1、使代数式有意义的x的取值范围是( ) A、x3 B、x3 C、 x4 D 、x3且x42
2、、使代数式有意义的x的取值范围是 3、如果代数式有意义,那么,直角坐标系中点P(m,n)的位置在()A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限二次根式定义的运用【例3】若y=+2009,则x+y= 举一反三:1、若,则xy的值为( )A1 B1 C2 D32、若x、y都是实数,且y=,求xy的值3、当取什么值时,代数式取值最小,并求出这个最小值。二次根式的整数部分与小数部分已知a是整数部分,b是 的小数部分,求的值。若的整数部分是a,小数部分是b,则 。若的整数部分为x,小数部分为y,求的值.知识点二:二次根式的性质1. 非负性:是一个非负数 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常
3、用到2. 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:3. 注意:(1)字母不一定是正数(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替 (3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外 4. 公式与的区别与联系 (1)表示求一个数的平方的算术根,a的范围是一切实数 (2)表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数 (3)和的运算结果都是非负的二次根式双重非负性的运用【例4】若则 举一反三:1、若,则的值为 。2、已知为实数,且,则的值为( )A3B 3C1D 13、已知直角三角形两边x、y
4、的长满足x240,则第三边长为.4、若与互为相反数,则。公式的运用【例5】 化简:的结果为( )A、42a B、0 C、2a4 D、4举一反三:1、在实数范围内分解因式: = ;= 2、化简:3、已知直角三角形的两直角边分别为和,则斜边长为 公式的应用【例6】已知,则化简的结果是A、 B、C、D、 举一反三:1、根式的值是( )A-3 B3或-3 C3 D92、已知a0)4二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。=(a0,b0)注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二
5、次根式【例16】化简(1) (2) (3) (4)() (5) 【例17】计算(1)(2)(3)(4)(5)(6) (7)(8)【例18】化简: (1) (2) (3) (4) 【例19】计算:(1) (2) (3) (4)【例20】能使等式成立的的x的取值范围是( )A、 B、 C、 D、无解知识点六:二次根式计算二次根式的加减需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数【例20
6、】计算(1); (2);(3);(4)【例21】 (1) (2) (3) (4) (5) (6)知识点七:二次根式计算二次根式的混合计算与求值1、确定运算顺序;2、灵活运用运算定律; 3、正确使用乘法公式;4、大多数分母有理化要及时;5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化;【例22】 1、 2、 (2+43)3、 (-4) 4、5、) 6、 7、 8、二次根式综合运用1已知:,求的值2已知,求的值。3已知:,求的值4求的值5已知、是实数,且,求的值知识点八:根式比较大小1、根式变形法 当时,如果,则;如果,则。2、平方法 当时,如果,则;如果,则。3、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来