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1、学点一,学点二,学点三,学点四,1.函数零点的概念 对于函数y=f(x),我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的 . 2.函数零点与方程根的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的 ,也就是函 数y=f(x)的图象与 的交点的 .所以方程 f(x)=0有 函数y=f(x)的图象与 函数y=f(x) .,f(x)=0,零点,实数根,x轴,横坐标,实数根,x轴有交点,有零点,3.函数零点的判断 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b) ,那么,函数y=f(x)在区间 内有零点,即存在c(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的根. 4
2、.二次函数的零点、二次函数图象与x轴的交点、一元二次方程的根三者之间的关系.,0,0)的根,y=ax2+bx+c (a0)的图象,y=ax2+bx+c,(a0)的零点,方程无实数根,x1=x2=,有一个二重零点,没有零点,学点一 函数的零点,求下列函数的零点: (1)f(x)=4x-3; (2)f(x)=-x2-2x+3; (3)f(x)=x4-1.,【分析】根据函数零点与方程的根之间的关系,要求函数的零点就是求相应方程的实数根.,【解析】 (1)由f(x)=4x-3=0得x= ,所以函数的零点是 . (2)由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),因此方程f(x)=0的根为-3
3、,1,故函数的零点是-3,1. (3)由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),令f(x)=0,得x=1,-1,故函数的零点是1,-1.,【评析】求函数的零点就是求相应方程的实数根,一般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根,从而得到函数的零点.,(1)令lnx-3=0,得x=e3, 函数的零点为x=e3. (2)方程x3-7x+6=0可化为 x3-6x-x+6=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1) =(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)=0. 即(x-1)(x-2)(x+3)=0得x1=-3,x2=1,x3=2, 函数
4、y=-x2-2x+3的零点为1,-3; 函数y=x3-7x+6的零点为-3,1,2.,求下列函数的零点: (1)y=lnx-3; (2)y=x3-7x+6.,学点二 判断零点,判断函数f(x)=x2-x-6的零点是否存在,若存在,说明零点所在的一个区间.,【分析】要判断函数的零点的个数,实际就是考查方程x2-x-6=0的解的个数,即y=x2-x-6的图象与x轴的交点个数.,【解析】考查函数f(x)=x2-x-6 知图象为抛物线(如图所示), 容易看出f(0)=-60,f(-4)=140.,【评析】 (1)方程的解与函数零点的关系是解决本题的桥梁; (2)体会数形结合和函数与方程的思想的运用.,
5、由于函数f(x)的图象是连续曲线,因此,点B(0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线必然穿过x轴,即在区间(0,4)内必有一个点x1,使f(x1)=0;同样在区间(-4,0)内也必有一个点x2,使f(x2)=0,所以函数f(x)=x2-x-6有两个零点,分别在区间(0,4)和(-4,0)内.,求证:方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)上,另一个在区间(1,2)上.,证明:令f(x)=5x2-7x-1,则 f(0)=-1,f(1)=-3,f(-1)=11,f(2)=5. 由f(-1)0,f(0)0知方程在(1,2)上也有一根.,学点三 函数值符号的判定,函数y=-2x2+x+3
6、的自变量x分别在什么范围内取值时,函数值大于0,小于0,等于0?,【分析】首先求出函数的零点,然后利用零点,结合函数的两个性质,可以求出函数值大于0,小于0,等于0时自变量x的取值范围.,【解析】由-2x2+x+3=0得x1=-1,x2= ,所以函数的零 点是-1和 ,亦即当自变量x取-1和 时,函数值等于0. 函数的两个零点-1和 将数轴分成3个区间:(-,-1),(-1, ),( ,+),在区间(-1, )内取特殊值,x=0,得其函数值f(0)=30,依函数零点的性质 (2)知当x(-1, )时,有f(x)0;再依据函数零 点的性质(1)知,当x(-,-1)和x( ,+)时, 都有f(x)
7、0时,x的取值范围.,解:y=x2-2x-8=(x+2)(x-4), 函数的两个零点是-2和4,由图象可知 当x(-,-2)(4,+)时,y0.,学点四 零点与不等式,已知函数f(x)=x3-4x. (1)求函数的零点并画函数的图象; (2)解不等式:xf(x)0,求m的取值范围.,可分两种情况处理,即分无零点和有零点。 (1)当f(x)无零点时,=4+12m0. (2)当f(x)有零点,且又满足x(0,+)时,f(x)0, 有两个零点必落在(-,0)内,此时有 0 m- -ba0 -20 ca0, -3m0,即,解得- m0. 综上所述,得当x(0,+),f(x)0时,m的取值范围是 m0.
8、,1.怎样判定函数f(x)在a,b上是否有零点?,判定f(x)在区间a,b上是否有零点,可用下面方法: (1)函数在区间a,b上的图象连续,且它在区间a,b端点的函数值异号,则函数在a,b上一定存在零点; (2)函数图象连续且在区间a,b上存在零点,则它在区间a,b端点的函数值可能异号,也可能同号; 上述方法只能用来判断函数零点的存在性,不能用来判断函数零点的个数.,2.怎样理解函数零点与方程根的关系? 3.函数值与零点有什么关系?,返回目录,设给出函数y=f(x),则有方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有交点. 若方程f(x)=0有二重实根,则称函数y=f(x)有二阶零点.,对于任意函数y=f(x),只要它的图象是连续不间断的,则有 (1)当通过零点时,函数值变号.如函数y=x2-x-6的图象在零点-2的左边时,函数值取正号;向右通过零点-2时,函数值由正变负;继续向右通过零点3时,函数值又由负变正. (2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号.,2.求出函数的零点后,充分利用函数零点的两个性质,得到在不同的自变量的取值范围内,函数值的不同取值情况.,1.求函数的零点就是求相应方程的实数根,一般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根,从而得到函数的零点.,祝同学们学习上天天有进步!,