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1、第 1 页 共 4 页 三面角公式及其应用三面角公式及其应用 三面角是立体几何的基本概念之一，是组成多面体的重要元素。与平面几何中有关三角形的正、余 弦定理类似，有关三面角的正、余弦定理是解三面角的重要依据。熟练掌握解三面角的方法，可以 较大地提高立体几何的解题能力。 0、什么是三面角？、什么是三面角？： 有公共端点且不共面的三条射线以及相邻两射线间的平面部分 所组成的图形叫三面角。 点 S 为三面角 SABC 的顶点。 射线 SA、SB、SC 为三面角 SABC 的三条棱， 三条棱它们所对的BSC、CSA、ASB 为三 面角 SABC 的三个面角。通常可用 a、b、c 表示。 以 SA、SB
2、、SC 为棱的二面角 BSAC、CSBA、 ASCB 可用 A、B、C 来表示。 以 SA 为棱的二面角 BSAC 所对的面角为：BSC 以 SB 为棱的二面角 CSBA 所对的面角为：CSA 以 SC 为棱的二面角 ASCB 所对的面角为：ASB 一、三面角正弦定理：三面角中面角的正弦的比等于所对二面角的正弦的比一、三面角正弦定理：三面角中面角的正弦的比等于所对二面角的正弦的比 即：即： BSA C ASC B BSC A sin sin sin sin sin sin 简单证明：简单证明：如图在 SA 上任取点 P 作SBC面PO于 O，作 SBPFSC,EP,易得： PE PO C si
3、n, PF PO B sin,即 BPFCPEPOsinsin, 即BCSASACBSASAsinsinsinsin, 故 BSA C ASC B sin sin sin sin 二、三面角余弦定理： 第一余弦定理： 三面角一个面角的余弦等于其他两个面角的余弦的乘积加上它们的正弦及它们所夹 二面角的连乘积。 三面角余弦定理： 第一余弦定理： 三面角一个面角的余弦等于其他两个面角的余弦的乘积加上它们的正弦及它们所夹 二面角的连乘积。 ABSAASCBSAASCBSCcossinsincoscoscos 证明：分析不失一般性，对三面角 SABC，只须证明Acbcbacossinsincoscosc
4、os 证明时利用上述公式及三角形的余弦定理即可。 证明如图，设三面角 SABC 的面角 b 及 c 均为锐角。在 SB、SC 上分别取|SB1|=|SC1|=1。 作 B1B2SA 于 B2，C1C2SA 于 C2，则|B1B2|=sinC， |C1C2|=sinb 二面角 BSAC 中， |B1C1|2=|B1B2|2+|C1C2|2+|B2C2|22|B1B2|C1C2| cosA=AbcbcBCcossinsin2)cos(cossinsin 222 B1SC1中，ASCSBSCSBCBcos22cos|2| 11 2 1 2 1 2 11 因此AAbcbcBCcos22cossinsi
5、n2)cos(cossinsin 222 经整理即得ABSAASCbBSAASCBSCcossinsincoscoscos 同理：同理：BBSABSCBSABSCASCcossinsincoscoscos CBSCASCBSCASCBSAcossinsincoscoscos 第 2 页 共 4 页 变形：变形： BSAASC BSAASCBSC A sinsin coscoscos cos BSABSC BSABSCASC B sinsin coscoscos cos BSCASC BSCASCBSA C sinsin coscoscos cos 备注： “边、角、边”解三面角型，可采用第一余
6、弦定理。 第二余弦定理：三面角中任一二面角的余弦等于其余两个二面角的余弦乘积的相反数加上此两个二 面角的正弦及其所夹面角的余弦的连乘积。 第二余弦定理：三面角中任一二面角的余弦等于其余两个二面角的余弦乘积的相反数加上此两个二 面角的正弦及其所夹面角的余弦的连乘积。 aCBCBAcossinsincoscoscos 备注： “角、边、角”解三面角型，可采用第二余弦定理。 四、相关应用：四、相关应用： 1已知，三面角 SABC 中。三个面角.cos,60,90,45CCba求 分析本题为已知“边、角、边”解三面角型，可采用第一余弦定理。 解由Cbabaccossinsincoscoscos 得 4
7、 2 60cos90sin45sin90cos45coscos C 注意三面角的三个面角之和不一定等于注意三面角的三个面角之和不一定等于 180，因此不能误用解平面几何中三角形时三内角之和 为 180来求第三个面角，本题中的面角 C 显然大于 45。由此可知，尽管三面角与三角形有许多 类似之处，但它们之间又有许多完全不同的性质。例如正弦定理，三角形的正弦定理中边与其对应 角的正弦的比值除相等外，还等于常量此三角形外接圆直径。而三面角中面角正弦与其对应二 面角正弦之比只是相等，但不等于常量。至于余弦定理，三面角的余弦定理有两类更是有别于三角 形的。 2. 三条射线SCSBSA,所成的角 0 30
8、BSCASC， 0 45ASB，那么平面ASC与平面 BSC所成角的余弦值为 3从一点出发的三条不共面的射线 SA、SB、SC。45,60ASCASBBSC。求证： 平面 ASB平面 ASC（图 213） 第 3 页 共 4 页 4正方体 ABCDA1B1C1D1中（见图 27） ，设 C1D1B 所在半平面为，CD1B 所在半平面为，BD1 所在直线、的交线，求二面角BD1的度数。 5正方形 ABCD 的边长为 a， （图 214） ，M、N 分别为 AB，CD 的 中点。将正方形沿 MN 折成 120的二面角。又在 MN 上取点 P，使 折后，,NPBAPBNPA求 AP 的长。 提示提示
9、：解三面角 PABN求出APNcos 注意 2 APNPAM，两边取余弦。 6平面 AC 与平面 BD 相交于 BC，它们所成的一个二面角 为 45，P 为面 AC 内一点，Q 为面 BD 内一点，已知直线 MQ 是直线 PQ 在平面 BD 内的射影。并且 M 在 BC 上。设 PQ 与平面 BD 所成的角为。) 2 0( CMQ。 线段 PM 的长为 a，求|PQ|。 7正四面体 ABCD 中，见图 29，E、F 分别为 CD、AB 的中 点。求 AE 及 CF 所成角的余弦值. 第 4 页 共 4 页 8已知直角三角形 ABC 的两直角边 AC=2，BC=3，P 为斜边 AB 上的一点，沿
10、 CP 将此直角三角形 折成直二面角 ACPB。当 AB=7时，求二面角 PACB 的余弦值。 9正四棱台 ABCDA1B1C1D1，相邻两侧面所成角为，侧 面与底面所成角为， （图 211） 求证：0coscos 2 10如图 212，地球半径为 R。A 地位置为北纬 45， 东经 95，B 地位置为北纬 60，东经 65，求 A、B 两地间 的球面距离。 （答案用反三角函数表示） 11 高考中的二面角可用三面角求解： 高考中的二面角可用三面角求解： （06 江西）江西）在三棱锥 ABCD 中，侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边， 且 AD3，BDCD1，另一个侧面
11、是正三角形 ，求二面角 BACD 的大小 （07 江西）江西）右图是一个直三棱柱（以 111 ABC为底面）被一平面所截得到的 几何体，截面为ABC已知 1111 1ABBC， 111 90ABC ， 1 4AA ， 1 2BB ， 1 3CC （2）求二面角 1 BACA的大小； （ 08 年 江 西 ）年 江 西 ） 如 图 ， 正 三 棱 锥OABC的 三 条 侧 棱 OAOBOC，两两垂直，且长度均为 2EF，分别是 ABAC，的中点，H 是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱 OAOBOC，或其延长线分别相交于 111 ABC， ，已知 1 3 2 OA （2）求二面角 111 OABC的大小 A B C O 1 A 1 B 1 C
