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1、第一章第一章 矢量分析矢量分析 1、方向导数和梯度的概念； 方向导数和梯度的关系； 直角坐标系中方向导数和梯度的表达式。 梯度是一个矢量。标量场梯度是一个矢量。标量场 u 在某点梯度的模等于该点的最大方向在某点梯度的模等于该点的最大方向 导数，方向为该点具有最大方向导数的方向。记为导数，方向为该点具有最大方向导数的方向。记为 gradu 方向导数：标量场方向导数：标量场 u 自某点沿某一方向上的变化率自某点沿某一方向上的变化率 标量场标量场 u 在给定点沿某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。在给定点沿某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。 2、通量的表达式；散度的计算式。 3
2、、旋度的计算式；旋度的两个重要性质。 性质性质 1：旋度的散度恒等于：旋度的散度恒等于 0 性质性质 2：标量的梯度的旋度恒等于：标量的梯度的旋度恒等于 0 计算公式：计算公式： 梯度的表达式：梯度的表达式： z u e y u e x u eu zyx 直角坐标系直角坐标系 S n S SeFSFdd z F y F x F F z y x zyx zyx x y z zx y y z x FFF zyx eee y F x F e x F z F e z F y F eF 4、场论的两个重要定理：高斯散度定理和斯托克斯定理。 散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理） 斯托克斯定理斯托克斯定
3、理 矢量场矢量场 F 沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即 5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场）矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（
4、或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场格林定理反映了两种标量场 （区域区域 V 中的场与边界中的场与边界 S 上的场之间的关系上的场之间的关系） 之间满足的关系。之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章第二章 电磁电磁现象的普遍规律现象的普遍规律
5、 1、 电流连续性方程的微分形式。 2、 磁通连续性原理的微分形式、积分形式。 矢量场在空间矢量场在空间任意闭合曲面任意闭合曲面S S的通量的通量等于等于该闭合曲面该闭合曲面S S所包含体积所包含体积V V中中 矢量场的散度的体积分矢量场的散度的体积分，即，即 磁通连续性原理（积分形式）磁通连续性原理（积分形式） 0d)( S SrB VS VFSFdd SC SFlF dd t J 3、 介质中高斯定理的微分形式和积分形式。用高斯定理求场强方法与实例。 其积分形式为其积分形式为 第二章 电磁场的基本规律 例例2 2： 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为求真空中均匀带电球体的场强分
6、布。已知球体半径为 a，电，电 荷密度为荷密度为 0 0 。 。 解：（解：（1 1）球外某点的场强）球外某点的场强 0 3 00 3 41 d a q SE S （2 2）求球体内一点的场强）求球体内一点的场强 VSE VS d 1 d 0 0 a r 0 r r E a r e r a E 2 0 3 0 3 ( ( r r a a ) ) 3 3 0 2 3 4 34 1 4r a q Er r e r E 0 0 3 （r a） 4、 磁介质中的安培环路定律的积分形式微分形式。用安培环路定律计算磁感应强度。 0)(rB VS VSDdd D ISJlH SC dd JH 恒定磁场的散度
7、（微分形式）恒定磁场的散度（微分形式） 第二章 电磁场的基本规律 IHlH C 2d 磁场强度磁场强度 0 2 I He 磁化强度磁化强度 0 0 0 2 0 I a a e B MH 磁感应强度磁感应强度 0 0 2 2 I a I a e B e H M B 例例4 4 有一磁导率为有一磁导率为，半径为，半径为a a 的无限长导磁圆柱，其轴的无限长导磁圆柱，其轴 线处有无限长的线电流线处有无限长的线电流I，圆柱外是空气（，圆柱外是空气（0 0 ），试求圆柱内 ），试求圆柱内 外的外的、和和的分布。的分布。 解：应用安培环路定理，得解：应用安培环路定理，得 5、 媒质的本构关系。 各向同性线
8、性媒质的本构关系为各向同性线性媒质的本构关系为(电磁场的辅助方程电磁场的辅助方程) 6、 感应电场的特点（有旋无源场） 。 感应电场是有旋场，变化的磁场是电场的旋度源，因此，产生电场的源有两种：电荷（散度感应电场是有旋场，变化的磁场是电场的旋度源，因此，产生电场的源有两种：电荷（散度 源）和时源）和时变磁场（旋度源） 。变磁场（旋度源） 。 7、 位移电流密度的求解。 ED HB EJ d t D J 第二章 电磁场的基本规律 例例 1 1 海水的电导率为海水的电导率为4S/m4S/m，相对介电常数为，相对介电常数为8181，求频率为，求频率为 1 1MHzHz时，位移电流振幅与传导电流振幅的
9、比值。时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。 解：设电场随时间作正弦变化，表示为解：设电场随时间作正弦变化，表示为 则位移电流密度为则位移电流密度为 其振幅值为其振幅值为 传导电流的振幅值为传导电流的振幅值为 故故 mcosx Ee Et d0rmsin( ) x D JeEt t 3 dm0rmm 4.5 10JEE cmmm 4JEE 3 dm cm 1.125 10 J J 8、 麦克斯韦方程组的积分形式、微分形式；这些方程的物理意义。利用麦克斯韦方程组进 行计算。 麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦方程组的微分形式与与麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组的积分形式 麦克斯韦第一方程，表
10、明传导电流和变化的电场都能产生磁场麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场 麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场 麦克斯韦第三方程表明磁场是无散场，磁感线总是闭合曲线麦克斯韦第三方程表明磁场是无散场，磁感线总是闭合曲线 麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场 D B t B E t D JH 0 SV S CS CS dVSD SB S t B lE S t D JlH d 0d dd d)(d 第二章 电磁场的基本规律 例例 2 2 在无源在无源的电介质的电介质中，若已知电场强中，若已知电场强 度矢量度矢
11、量，式中的，式中的E0 0为振幅、为振幅、为角频率、为角频率、 k k为相位常数。试确定为相位常数。试确定k k与与之间所满足的关系，并求出与之间所满足的关系，并求出与相应相应 的其他场矢量。的其他场矢量。 (00)J 、 (0) mcos( )V/m x Ee Etkz E 解：解：是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利 用麦克斯韦方程组可以确定用麦克斯韦方程组可以确定k k 与与之间所满足的关系，以及与之间所满足的关系，以及与 相应的其相应的其他场矢量。他场矢量。 E E mm cos()sin() x yyy E eeEtkze
12、kEtkz zz m cos() y kE Betkz 对时间对时间t t 积分，得积分，得 () xyzxx B Eeeee E txyz 第二章 电磁场的基本规律 BH = DE 2 m sin() xyz y xx xyz eee H k E Heetkz xyzz HHH m sin() x xx DD eeEtkz tt D H t 由由 22 k m cos() y kE Hetkz mcos( ) x De Etkz 以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的H H 和和D D 代入式代入式 9、 电磁场的边界条件。 1.两种
13、理想介质分界面上的边界条件两种理想介质分界面上的边界条件 理想导体表面上的边理想导体表面上的边界条件界条件 第三章第三章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题 1、电位梯度和电场强度的关系。 2、求导体的电容的方法与实例。 第三章第三章 静态电磁场及其边值问题静态电磁场及其边值问题 例例3.1.5 3.1.5 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a ，外导体半径为，外导体半径为b ，内外导体，内外导体 间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。 ( ) 2 l Ee 内外导体间的电位差内外导体间的电位差 1 ( )dd 2 bb l aa UEe l l 解解设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为和和， 应用高斯定理可得到
