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1、长春市 2020 届高三质量监测（三）文科数学一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 设集合， ，则A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则A. B. C. D. 3. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4. 某中学从甲乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则的值为A. 7 B. 8 C. 9 D. 105. 等比数列中，、是函数的两个零点
2、，则等于A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为 A. B. C. D. 7. 已知是两条直线， 是两个平面，则的一个充分条件是A. B. C. D. 8. 已知直线与函数的图象相邻两交点间的距离为，则函数的单调递增区间为 A. B. C. D. 9. 已知是定义在上的奇函数，在内是增函数，且，则使得成立的的取值范围是A. B. C. D. 10. 若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 11. 已知双曲线与椭圆有相同焦点，离心率为，若双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为，为线段的中点， 为坐标原点，则 A. B. C. D. 12. 众所周知的“太极图”，其形
3、状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因此被称为“阴阳鱼太极图”.下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”的一个示意图，整个图形是一个圆面，其中黑色区域在轴右侧部分的边界为一个半圆. 给出以下命题： 在太极图中随机取一点，此点取自黑色部分的概率是；当时，直线与白色部分有公共点；黑色阴影部分中一点，则的最大值为；设点，点在此太极图上，使得，的范围是.其中所有正确结论的序号是A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知，则 . 14.已知长方形中，现将长方形沿着对角线折起，使平面平面，则折后几何图形的外接球表面积为_.15. 若是函数的两个极值点，则 ， . （本题第一空2分，
4、第二空3分）16. 已知数列的各项均为正数，其前项和满足，设，为数列的前项和，则 .三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 2223 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分） 笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”. 笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀（每刀100张
5、），公司按照某种质量标准值给宣纸确定质量等级，如下表所示：公式在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元.（1）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率；（2）估计该公式生产宣纸的年利润（单位：万元）.18. （本小题满分 12 分） 的内角所对的边分别为，已知 .（）求； （）若，且的面积为，求.19.（本小题满分 12 分）四棱锥中， 平面，在棱上. （）求证：； （）若，求证：平面.20.（本小题满分
6、12 分） 已知为坐标原点，抛物线的方程为，其焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，且为以为直角顶点的直角三角形.（）求抛物线的方程； （）设点为曲线上的任意一点，证明：以为直径的圆与轴相切.21.（本小题满分 12 分）已知均为实数，函数，若曲线与曲线都过点，且在点处有相同的切线.（）求切线的方程； （）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参
7、数方程为（为参数）. （）求曲线的参数方程与直线的普通方程； （）设点过为曲线上的动点，点和点为直线上的点，且满足为等边三角形，求边长的取值范围.23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 已知函数 ，. （）当时，有，求实数的取值范围 ； （）若不等式的解集为，正数满足，求的最小值.长春市2020届高三质量监测（三）数学（文科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】A【解析】，所以选A2.【答案】C【解析】故选C 3【答案】B【解析】，故选B.4.【答案】B【解析】由甲班众数83得x=3，由乙班平均数86得y=5,故选B5.【答案
8、】C【解析】由韦达定理值，故选C6.【答案】B【解析】由解析式知函数为奇函数，排除C,D，代入特值验证，选B7.【答案】C【解析】A中两直线关系不确定，B中两直线平行，不正确，C正确，D中两直线关系不确定，所以选C.8.【答案】B【解析】由两交点距离为，即函数周期为，易得，增区间由 得故选B9.【答案】D【解析】由函数的奇偶性，单调性及特值画图，易得D正确.10.【答案】B【解析】当时，如图，当时，向下平移，满足题意，当时，向上平移一个单位以上才可以，所以，满足题意，故选B11.【答案】B【解析】由和离心率得， ，,选B项12.【答案】D【解析】对；直线圆相离；设与圆相切且切点在圆上部时有最大
9、值；设与圆相切，则满足题意得点P在圆上，点P在此圆内部及圆周上时，满足题意，得，对.故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13.【答案】【解析】由，所以.14.【答案】【解析】由题意得得球心即为中点，为直径，所以球半径为1，所以球表面积为.15.【答案】【解析】，.16.【答案】【解析】由得作差得，又得，则所以，所以.三、 解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查频率分布直方图的相关知识，频率分布表，分层抽样，古典概型. 【解析】（1）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）纸中抽出一个容量为5的样本，并抽出2张正牌分别
10、为，2张副牌分别为，一张废品为，从其中任取两张的所有可能情况为：，共10种，其中不含废品的情况有，共6种，因此随机抽取两张，其中无废品的概率为; （6分）(2) 由频率分布直方图可知，一刀（100张）宣纸中有正牌宣纸1000.14=40张，有副牌宣纸1000.0542=40张，有废品1000.02542=20张，所以该公司一刀宣纸的年利润为4010+405+20（-10）=400元，所以估计该公式生产宣纸的年利润为400万元.（12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查正余弦定理应用的相关知识.(1)法一：由及正弦定理，得又. 即 由 即(6分)法二：由及余弦定理得整理得又则即即.
11、(6分)（2）法一：由，因此又所以, 因为 所以又面积为6，即即解得.(12分)法二：过作于，设，在RtABH中，因为，所以，在RtACH中，又，则， 由，则,即因为的面积为6，即 ,即.（12分）19.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何平行垂直位置关系等知识.【解析】（1）过作于，,则，即，又平面，平面又平面,平面，又平面，（6分）.（2）平面，,又又平面，平面，,得，连交于，连,平面,平面,平面. (12分)20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系问题等知识. （1）设过点的直线的方程为，交抛物线于，由可得将直线的方程为与抛物线联立
12、可求得，即抛物线的标准方程为（5分）（2）已知点是抛物线上的点，过点作准线的垂线，与轴交于点，与准线的交点为，而的中点到轴的距离为，即以为直径的圆与轴相切. (12分)21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.(1)，由已知得即解得曲线向量为曲线方程为，即.(4分)(2)函数即对任意恒成立，从而，当时，在单调递减，又，显然不恒成立；当时，解得，i)当，即时，当，单调递增，又，显然不恒成立ii)当 ，即时，当，单调递增，则，显然恒成立. iii)当，即时，当，单调递减；当，单调递增；则，恒成立，解得.综上所述：（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数，）；直线的普通方程为.(5分)（2）设,到直线的距离，由得，故等边三角形的边长的取值范围是.（10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【解析】(1)由题意得：在上恒成立，即所以又当且仅当即时等号成立，所以即.(5分)(2)令即若时，解集为，不合题意；若时，又则；因此，则，又，解得.当且仅当，即时等号成立，此时，当时，.（10分）2020长春模拟一模理科第 10 页 共 10 页
