现代控制理论第一章 控制系统数学模型PPT课件

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1、 第1章控制系统数学模型 本课程的任务是系统分析和系统设计 而不论是系统分析还是系统设计 本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的 因此 本章首先介绍控制系统的数学模型 本章内容为 1 状态空间表达式 2 由微分方程求出系统状态空间表达式 3 传递函数矩阵 4 离散系统的数学模型 5 线性变换 状态变量选取非唯一 6 组合系统的数学描述 7 利用MATLAB进行模型之间的变换 1 1状态空间表达式 1 1 1状态 状态变量和状态空间 状态 动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合 状态空间 以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线性空间 称为状态空间 例 如下图所示电路 为输

2、入量 为输出量 建立方程 初始条件 和可以表征该电路系统的行为 就是该系统的一组状态变量 1 1 2状态空间表达式 前面电路的微分方程组可以改写如下 并且写成矩阵形式 系统的状态方程和输出方程一起 称为系统状态空间表达式 或称为系统动态方程 或称系统方程 设 则可以写成状态空间表达式 推广到一般形式 如果矩阵A B C D中的所有元素都是实常数时 则称这样的系统为线性定常 LTI 即 LinearTime Invariant 系统 如果这些元素中有些是时间t的函数 则称系统为线性时变系统 系统状态图和信号流图如下 严格地说 一切物理系统都是非线性的 可以用下面的状态方程和输出方程表示 如果不显

3、含t 则称为非线性定常系统 1 1 3状态变量的选取 1 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定 2 状态变量选取的非惟一性 3 系统状态变量的数目是惟一的 在前面的例子中 如果重新选择状态变量则其状态方程为 输出方程为 1 1 4状态空间表达式建立的举例 例1 1建立右图所示机械系统的状态空间表达式 注 质量块m的重量已经和弹簧k的初始拉伸相抵消 根据牛顿第二定律 即 选择状态变量 则 机械系统的系统方程为 该系统的状态图如下 例1 2建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式 电枢回路的电压方程为 系统运动方程式为 式中 为电动势常数 为转矩常数 为折合到电动机轴上的转动惯量 为折合

4、到电动机轴上的粘性摩擦系数 可选择电枢电流和角速度为状态变量 电动机的电枢电压为输入量 角速度为输出量 状态空间表达式 状态图如下 例1 3建立单极倒立摆系统的状态空间表达式 单级倒立摆系统是许多重要的宇宙空间应用的一个简单模型 在水平方向 应用牛顿第二定律 对摆球来说 在垂直于摆杆方向 应用牛顿第二定律 而有 线性化 当和较小时 有 化简后 得 求解得 选择状态变量 为系统输入 为系统输出 状态图为 1 2由微分方程求状态空间表达式 一个系统 用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系 通过选择合适的状态变量 就可以得到状态空间表达式 这里分两种情况 1 微分方程中不含输入信号导数项 即1 2

5、 1中的内容 2 微分方程中含有输入信号导数项 即1 2 2中的内容 1 2 1微分方程中不含有输入信号导数项 首先考察三阶系统 其微分方程为 选取状态变量 则有 写成矩阵形式 状态图如下 一般情况下 n阶微分方程为 选择状态变量如下 写成矩阵形式 系统的状态图如下 1 2 2微分方程中含有输入信号导数项 首先考察三阶系统 其微分方程为 一 待定系数法 选择状态变量 其中 待定系数为 于是 写成矩阵形式 系统的状态图 一般情况下 n阶微分方程为 选择n个状态变量为 系统方程为 系统状态图如下 二 辅助变量法 设n阶微分方程为 Laplace变换 求传递函数 引入辅助变量z 返回到微分方程形式

6、以及 写成矩阵形式 注 如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同 则有d 例1 4已知描述系统的微分方程为 试求系统的状态空间表达式 解 1 待定系数法 选择状态变量如下 其中 于是系统的状态空间表达式为 2 辅助变量法 引入辅助变量z 选择状态变量 于是系统的状态空间表达式为 1 3传递函数矩阵 传递函数 系统初始松弛 即 初始条件为零 时 输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比 在初始松弛时 求Laplace变换 并且化简 状态变量对输入量的传递函数 输出量对输入量的传递函数 即 传递函数 例1 5系统状态空间表达式为 求系统传递函数 解 1 3 2传递函数矩阵 状态空间表达式为 进行

7、拉普拉斯变换 如果存在 则 如果 则 状态变量对输入向量的传递函数矩阵 而 输出量对输入向量的传递函数矩阵 其结构为 式中 表示只有第j个输入作用时 第i个输出量对第j个输入量的传递函数 例1 7线性定常系统状态空间表达式为 求系统的传递函数矩阵 解 1 3 3正则 严格正则 有理传递函数 矩阵 如果当时 是有限常量 则称有理函数是正则的 若 则称是严格正则的 非正则传递函数描述的系统在实际的控制工程中是不能应用的 因为这时系统对高频噪声将会大幅度放大 例如微分器为非正则系统 假如输入信号带有高频污染经过微分器输出 可见 在微分器输入端 噪声的幅值只是有效信号幅值的百分之一 输出端噪声的幅值却

8、是有效信号幅值的10倍 信噪比变得很小 1 3 4闭环系统传递函数矩阵 于是闭环系统的传递矩阵为 或 1 3 5传递函数 矩阵 描述和状态空间描述的比较 1 传递函数是系统在初始松弛的假定下输入 输出间的关系描述 非初始松弛系统 不能应用这种描述 状态空间表达式即可以描述初始松弛系统 也可以描述非初始松弛系统 2 传递函数仅适用于线性定常系统 而状态空间表达式可以在定常系统中应用 也可以在时变系统中应用 3 对于数学模型不明的线性定常系统 难以建立状态空间表达式 用实验法获得频率特性 进而可以获得传递函数 4 传递函数一般仅适用于单入单出系统 状态空间表达式可用于多入多出系统的描述 5 传递函

9、数只能给出系统的输出信息 而状态空间表达式不仅给出输出信息 还能够提供系统内部状态信息 且一般有m n 综上所示 传递函数 矩阵 和状态空间表达式这两种描述各有所长 在系统分析和设计中都得到广泛应用 1 4离散系统的数学描述 1 4 1状态空间表达式 选取状态变量 写成矩阵形式 可以表示为 其中 输出方程 推广到n阶线性定常差分方程所描述的系统 选取状态变量 系统状态方程 输出方程 2 差分方程中含有输入量差分项 先考察3阶线性定常差分方程 选择状态变量 待定系数为 系统状态方程为 即 输出方程为 即 多输入 多输出线性时变离散系统状态空间表达式 当 和的诸元素与时刻无关时 即得线性定常离散系

10、统状态空间表达式 如果存在 则 其中 为系统状态对输入量的脉冲传递函数矩阵 如果初始松弛 则 系统输出向量对输入向量的脉冲传递函数矩阵 解 对于SISO线性定常离散系统 系统脉冲传递函数为 1 5线性变换 我们知道 系统确定后 状态变量的个数是确定的 但状态变量的选取是非唯一的 选择不同的状态变量 则得到的状态空间表达式也不相同 由于它们都是同一个系统的状态空间描述 它们之间必然存在某种关系 这个关系就是矩阵中的线性变换关系 1 5 1等价系统方程 1 线性定常系统 1 为n维状态向量 为r维输入向量 为m维输出向量 为相应维数的矩阵 其中 于是 系统状态方程变为 2 方程 1 与方程 2 互

11、为等价方程 对上式求导并代入 可以得到 又由 可以得到 1 5 2线性变换的基本性质 1 线性变换不改变系统的特征值 线性定常系统 系统的特征方程为 等价系统的特征方程为 可见线性变换不改变系统的特征值 2 线性变换不改变系统的传递函数矩阵 时的传递函数矩阵 可见 经过线性变换 系统的传递函数矩阵不改变 1 5 3化系数矩阵A为标准形 所谓标准形是指 对角形 约当形 模态形 例1 10将矩阵化为对角阵 解 解出 变换矩阵 如果矩阵A具有这样形式 范德蒙特矩阵 变换矩阵 且A的n个特征值 1 2 n互异 则A可化为对角阵 Q阵为范德蒙特矩阵 2 化矩阵A为约当形 如果矩阵A有重特征值 可分为两种

12、情况 1 仍有n个独立的特征向量 此时仍可以化为对角阵 2 独立特征向量的个数小于n 这时不能化为对角阵 只能化为约当形 确定变换矩阵 可以得到 变换矩阵为 例1 12化矩阵为标准形矩阵 解 得出 求二重特征根对应的特征向量 得到 而由 得到 求特征值对应的特征向量 得到 因此 设特征值为 在此情况下 A的模态形为 设为对应于的特征向量 则 令 则 变换矩阵 例1 13将化为模态形 解 特征值为 解得 因此 1 6组合系统的数学描述 工程中较为复杂的系统 通常是由若干个子系统按某种方式连接而成的 这样的系统称为组合系统 组合系统形式很多 在大多数情况下 它们由并联 串联和反馈等3种连接方式构成

13、的 下面以两个子系统和构成的组合系统进行介绍 的系统方程为 传递函数矩阵为 的系统方程为 传递函数矩阵为 传递函数矩阵 1 6 2串联连接 串连组合后系统方程 1 6 3反馈连接 组合后系统方程为 传递函数矩阵为 或 1 125 1 126 应当指出 在反馈连接的组合系统中 或存在的条件是至关重要的 否则反馈系统对于某些输入就没有一个满足式 1 125 或式 1 126 的输出 就这个意义来说 反馈连接就变得无意义了 例1 14 1 7利用MATLAB进行模型转换 MATLAB是当今世界上最优秀的科技应用软件之一 它以强大的科学计算能力和可视化功能 简单易用的编程语言以及开放式的编程环境等一些

14、显著的优点 使得它在当今许许多多科学技术领域中成为计算机辅助分析和设计 算法研究和应用开发的基本工具和首选平台 在本书中 用它作为系统分析和设计的软件平台 更显示出独特的优势 本节利用MATLAB实现数学模型的转换 可以用ss命令来建立状态空间模型 对于连续系统 其格式为sys ss A B C D 其中A B C D为描述线性连续系统的矩阵 当sys1是一个用传递函数表示的线性定常系统时 可以用命令sys ss sys1 将其转换成为状态空间形式 也可以用命令sys ss sys1 min 计算出系统sys的最小实现 例1 15控制系统微分方程为 求其状态空间表达式 解 可以先将其转换成传递

15、函数 输入下列命令 语句执行结果为 这个结果表示 该系统的状态空间表达式为 注意 在输入命令中 sys ss G 也可以改用 A B C D tf2ss num den 在本例中其作用和sys ss G 近似 也可以计算出矩阵A B C D 2 离散系统的状态空间表达式 离散系统的状态空间表达式为 和连续系统状态空间表达式的输入方法相类似 如果要输入离散系统的状态空间表达式 首先需要输入矩阵G H C d 然后输入语句 即可将其输入到MATLAB的workspace中 并且用变量名来表示这个离散系统 其中T为采样时间 如果Gyu表示一个以脉冲传递函数描述的离散系统 也可以用ss Gyu 命令

16、将脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式 解 输入下列语句 语句执行的结果为 再输入语句 绘制出零 极点分布图如下 在执行完上述语句后 Gyu已经存在于MATLAB的workspace中 这时再执行语句 执行结果为 结果表示 离散系统的状态空间表达式为 1 7 2求传递函数矩阵 在已知线性定常系统中的A B C和D矩阵之后 则该系统的传递函数矩阵可以按下式求出 例1 17已知系统状态方程为 其中inv 函数是求矩阵的逆矩阵 而simple 函数是对符号运算结果进行简化 执行结果如下 这表示 1 7 3 线性变换 1 化为对角矩阵 函数eig 可以计算出矩阵A的特征值以及将A阵转换成对角阵的线性变换矩阵 其语句格式为 Q D eig A 则D为对角阵并且对角线上各元素为矩阵A的特征值 满足 因为即 输入以下语句 执行结果如下 由以上计算数据可得系统经过线性变换后的方程为 也可以输入语句 运行结果为 2 化为约当矩阵 在MATLAB中用函数命令jordan 来求矩阵的约当标准形 其命令格式为 Q J jordan A 输入参量A是系数矩阵 输出参量J是矩阵A的约当标准形矩阵 而就是线性变换矩