现代控制理论精_于长官PPT课件

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1、 第二章 状态方程和输出方程 2 1系统状态空间描述的概念 例 RLC网络系统的状态空间模型 线性连续定常系统的状态空间模型为其中为输入向量 为输出向量 为状态向量 为恰当维数的实矩阵 分别称为状态矩阵 输入矩阵和输出矩阵 系统状态空间描述的特点 系统的状态变量的个数 系统中包含的独立储能元件的个数 等于系统的阶数 该阶数与经典控制论中概念一致 对于给定的系统 状态变量的选择不是唯一的 但各种选择的状态变量的个数都是相同的 3 一般来说 状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量 也可能是纯数学的量 没物理上的意义 建立系统状态空间模型的步骤 1 选择合适的状态变量 2 根据系统物理机理或其他方

2、面的机理列写微分方程 化成一阶微分方程组 3 写成矩阵形式 得到状态空间模型 2 2系统的一般时域模型化为状态空间模型 同一系统的各种模型间可以互相转化讨论系统的常微分方程模型化为系统的状态空间模型分以下两种情况 1 常微分方程模型中不含输入函数的导数 2 常微分方程模型中含输入函数的导数 选择状态变量 其中参数由下式决定 即 2 3系统的频域描述化为状态空间描述 控制系统的传递函数为按其极点情况 用部分分式法可得与之相应的状态空间模型 一 控制系统传递函数的极点两两相异时 其中是系统两两相异的极点 按下式计算二 控制系统传递函数的极点为重根 1 传递函数的极点为一个重根 其中是系统的重极点

3、按下式计算 2 传递函数的极点为个重根 此时系统的状态空间模型由个1 中的系统并联而成 三 传递函数的极点既有单极点 又有重极点 此时系统的状态空间模型由所有的单极点系统和所有的重极点系统并联而成 系统的状态矩阵为约当标准型 2 4据状态变量图列写状态空间描述 一 状态变量图的概念所谓状态变量图 是由积分器 放大器和加法器构成的控制系统图形表示 状态变量图是系统相应方块图拉氏反变换的图形 在选择系统的状态变量时 一种方法是选择系统中的独立储能元件的储能变量作为状态变量 体现在 状态变量图中 就是选择积分器的输出作为状态变量 进而导出系统的状态空间模型 列写状态空间描述的步骤 1 对传递函数进行

4、处理 2 画系统对应的方块图 3 画系统的状态变量图 4 依据状态变量图 列写出系统状态方程与输出方程 二 一阶系统的状态空间描述三 阶系统的状态空间描述设阶系统的传递函数为 令或可得根据上式 可得系统的方块图 继而得系统的变量图 2 5据系统方块图导出状态空间描述 一 方块图方法的思路当系统的描述以方块图形式给出时 常常无须求出系统的总传递函数和状态变量图 可以直接由方块图导出其相应的状态空间模型 这主要是基于以下的事实 事实 系统中二阶以上的环节常常可以化为由惯性环节和积分环节组成 因此 我们可以以这些惯性环节和积分环节的输出作为状态变量的拉氏变换来导出状态空间模型 基于方块图导出状态空间

5、模型要比基于状态变量图导出状态空间模型简单 二 方块图导出状态空间模型的步骤1 将系统方块图中的每一环节都分解为积分环节和惯性环节的组合 2 以所有惯性环节和积分环节的输出作为状态变量的拉氏变换 3 列出所有惯性环节和积分环节输入输出的拉氏变换关系式 4 对所有3 中的拉氏变换关系式求拉氏反变换得到一阶微分方程组 5 把4 中的一阶微分方程组化成向量矩阵表示的状态方程与积分方程 2 6据系统状态空间描述导出频域描述 设线性连续定常系统的状态空间模型为 1a 1b 对以上两式分别做拉氏变换 得从以上两式中消去 则 2 结论 从 2 式可知 系统的极点和系统状态空间模型中状态矩阵的特征值是一致的

6、问题 对同一个系统 选择不同的状态变量 所得的状态空间模型之间有什么关系 对同一个系统 不同的状态变量之间存在着线性变换关系 这相当于在 1 中做状态变量的可逆线性变换或 则 所以 我们有结论 对同一个系统 可以选择不同的状态变量 但所得到的状态空间模型的状态矩阵是相似的 第三章 系统的运动与离散化 3 1矩阵指数概念 系统的运动 系统动态方程的解 一 线性系统的自由运动先考察一般线性时变系统的自由运动该自由运动的解可表示为称为系统的状态转移矩阵 线性时变系统的状态转移矩阵 恰为以下矩阵微分方程的解注 状态转移矩阵也常被记作 状态转移矩阵的性质 1 唯一性 线性时变系统的状态转移矩阵是唯一的

7、2 可逆性 3 可分解性 4 传递性 对于线性定常系统 其状态转移矩阵为线性定常系统的自由运动因此为 二 矩阵指数的定义一般的指数函数有如下的定义据此定义矩阵指数函数如下 可以证明 线性定常系统的状态转移矩阵为 3 2矩阵指数函数的计算方法 一 根据矩阵指数函数的定义求解 二 用拉氏反变换求解 三 将化为的有限多项式来求解 利用Cayley Hamilton定理 将的无限多项式化为有限多项式来计算 即 式中 为的函数 根据的不同特征值情况 由不同的公式给出 补充材料 Cayley Hamilton定理 设的特征多项式为则有Cayley Hamilton定理说明矩阵的次或超过次以上的幂都可以化为

8、的次多项式来进行计算 Cayley Hamilton定理应用举例 已知 试计算 1 2 3 注 的特征多项式为 3 3线性系统的受控运动 动态系统在控制作用下的运动 称为受控运动 若受控线性状态方程的解存在 则必具有如下形式上式说明 线性系统的运动由两部分构成 第一部分 为起始状态的转移项 第二部分为控制作用下的受控项 上述解公式在线性定常系统时可以给予证明 3 4线性离散系统的状态空间描述 线性时变离散系统的状态空间模型如下 线性定常离散系统的状态空间模型如下 其中各向量各矩阵的含义类似于连续系统的情形 在经典控制理论中 线性定常离散系统的模型用下列的高阶差分方程描述或下列的脉冲传递函数描述

9、一 将差分方程模型化为状态空间模型1 差分方程的输入函数中不包含差分的情形 2 差分方程的输入函数中包含差分的情形二 将脉冲传递函数模型化为状态空间模型1 脉冲传递函数的极点两两相异时 其中则 令 则可得相应的状态空间模型 2 脉冲传递函数的极点为单个重极点其中 令 则可得相应的状态空间模型 3 传递函数的极点既有单极点 又有重极点 此时 系统的状态空间模型为约当标准型 3 5线性定常离散系统的受控运动 一 迭代法利用计算机迭代求解 且可得如下的解公式从该式可知 在线性定常离散系统中 设其状态转移阵为 则 是满足下列方程的唯一解 二 Z变换法 3 6线性连续系统的离散化 一 时变系统状态方程的

10、离散化定理 设线性连续时变系统离散化后的状态空间模型为则两者系数矩阵关系为 式中 为连续系统的状态转移矩阵 以上为线性连续时变系统与其离散化后的系统系数矩阵间的精确关系 当采样周期很小时 有下面的近似关系 二 定常系统状态方程的离散化定理 设线性连续定常系统离散化后的状态空间模型为则两者系数矩阵关系为 第四章 系统的能控性与能观测性 4 1能控性与能观测性的概念 能控性 对于线性系统在时刻的任意初值 总存在一个有限时刻和上的容许控制 使得 则称系统是状态完全能控的 能控性是检查系统的每一个状态分量能否被所控制 能观性 对于线性系统设输入 对于系统在时刻的任意初始状态 都存在一个有限时刻 使得通

11、过在区间上的输出能唯一地确定系统的初始状态 则称系统是状态完全能观测的 能观性说明能否通过系统的输出来确定系统的状态 4 2线性定常系统的能控性判据 一 状态能控性判据的第一种形式定理 阶线性定常系统 状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵满秩 即 二 状态能控性判据的第二种形式定理 设系统 具有两两相异的特征值 则系统状态完全能控的充要条件是 系统经非奇异变换 后的对角线规范型中 不包含元素全为0的行 定理 设系统 具有不同的重特征值其重数分别为 则系统状态完全能控的充要条件是 系统经非奇异变换 后的约当规范型 中 里与每个约当小块的最后一行对应的所有行元素不全为0 三 状态能控性判据的第三种

12、形式定理 线性定常单输入单输出系统 状态完全能控的充要条件是 其输入 状态的传递函数中无相消因子 即无零极点相消现象 4 3线性定常系统的能观性判据 一 状态能观性判据的第一种形式定理 阶线性定常系统 即状态完全能观测的充要条件是其能观性矩阵满秩 即 这里 二 状态能观性判据的第二种形式定理 设系统 具有两两相异的特征值 则系统状态完全能观的充要条件是 系统经非奇异变换 后的对角线规范型中 不包含元素全为0的列 定理 设系统 具有不同的重特征值其重数分别为 则系统状态完全能观的充要条件是 系统经非奇异变换 后的约当规范型 中 里与每个约当小块的首行对应的所有列元素不全为0 三 状态能观性判据的

13、第三种形式定理 线性定常单输入单输出系统 状态完全能观的充要条件是 其状态 输出的传递函数中无相消因子 即无零极点相消现象 定理 线性定常单输入单输出系统 状态完全能控能观的充要条件是 其输入 输出的传递函数中无相消因子 即无零极点相消现象 4 4线性离散定常系统的能控性与能观性判据 一 线性离散定常系统的能控性判据线性离散定常系统的能控性能观性定义和线性连续定常系统的能控性能观性的定义类似 定理 阶线性离散定常系统 的状态完全能控的充要条件为其能控性矩阵满足 其中 二 线性离散定常系统的能观性判据定理 阶线性离散定常系统 的状态完全能观的充要条件为其能观性矩阵满足这里 注 原来状态完全能控

14、能观 的线性定常连续系统离散化后 若采样周期选择不当 离散化后的定常系统有可能变得不能控 能观 的 4 5能控规范型和能观规范型 能控规范型或能观规范型实际上是状态完全能控或状态完全能观的线性系统在特殊的状态变量选择下所得到的特殊的具有简单形式的状态空间模型 考察如下的SISO线性系统 1 其中 一 SISO系统的能控规范型 定理 设SISO线性系统 1 状态完全能控 则一定存在非奇异变换或 将线性系统 1 化为如下的能控规范型 其中 而为任意的矩阵 其中的变换阵可由下式表达 这里的含义实际上是取的最后一行 二 SISO系统的能观规范型 定理 设SISO线性系统 1 状态完全能观 则一定存在非

15、奇异变换或 将线性系统 1 化为如下的能观规范型 其中 而为任意的矩阵 其中的变换阵可由下式表达 这里的含义实际上是取的最后一列 4 6系统能控性和能观性的对偶原理 考察以下的两个系统 1 2 注意如下的符号表达 1 2 关系 系统 1的能控阵 系统 2的能观阵 系统 1的能观阵 系统 2的能控阵 所以 系统 1状态能控等价于系统 2状态能观 系统 1状态能观等价于系统 2状态能控 系统 1和系统 2的以上这些关系称为系统能控性和能观性的对偶特性 第五章 状态反馈与状态观测器 5 1状态反馈与输出反馈 状态反馈和输出反馈是反馈控制系统反馈的两种基本形式 1 状态反馈设受控系统模型为对其施加状态

16、反馈律 则闭环系统的状态空间模型为闭环传递函数为2 状态反馈对前面的受控系统施加输出反馈律则闭环系统的状态空间模型为 闭环传递函数为3 对两种反馈形式的讨论a 两种反馈引入后 所得闭环系统和原开环系统具有相同的阶数 b 两种反馈闭环系统均能保持原系统的能控性 状态反馈后的闭环系统不一定保持原系统的能观性 输出反馈后的闭环系统一定保持原系统的能观性 c 状态反馈的实现需要系统状态的信息 当系统的状态不能直接得到时 需要构造观测器 估计器 来对其进行估计 d 状态反馈与输出反馈相比 具有更好的特性 5 2SISO状态反馈系统的极点配置法 采用上节的状态反馈律 所得闭环系统为所谓极点配置法 就是通过状态反馈阵的选取 使以上闭环系统的极点 即的特征值恰好处于所希望的一组极点的位置上 一 极点配置定理定理 对SISO系统 0 给定任意个极点 实数或共轭虚数 以这个极点为零根的特征多项式为那么存在矩阵 使闭环系统 K以为极点 即 的充要条件为受控系统 0是完全能控的 该定理即 SISO系统可通过状态反馈任意配置极点的充要条件为该受控系统是状态完全能控的 注1 该定理的证明是构造性的 即证明的过程也