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1、习题一1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9P10）答：设数系A扩展后得到新数系为B，则数系扩展原则为：（1）（2） A的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B中被重新定义。而且对于A的元素来说，重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。（3） 在A中不是总能实施的某种运算，在B中总能施行。（4） 在同构的意义下，B应当是A的满足上述三原则的最小扩展，而且有A唯一确定。数系扩展的方式有两种：（1） 添加元素法。（2） 构造法。2、 对自然数证明乘法单调性：设则（1）（2）（3）证明：（1）设命题能成立的所有C组成集合M。由归纳公理知，所以命题对任意自然数成立。（2） （P17定
2、义9）由（1）有 （P17.定义9）或： （3） 3、 对自然数证明乘法消去律：（1）（2）（3）证明（1）（用反证法）（2） 方法同上。（3） 方法同上。4、 依据序数理论推求： 解： （P16.例1） （2） 5、设，证明是9的倍数。证明： 则当n=k+1时：。由，知，对于任一自然数n成立。6、 用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立：证明： 。由、知，对任意自然数n命题成立。7、（1）（2）（3） 。解：（1） （2） （3） 所得的各个数皆为自然数，因此， 。8、证明： 9. 证明整数集具有离散性.证明：（反证法）假设整数集不具有离散性，即在相邻整数a和a+1之间存在。依据加法单调性
3、， ， 即.这就和自然数集具有离散性相矛盾。10、 证明：有理数乘法满足结合律。证明： （1） 当a,b,c中至少有一个为零。（1）显然成立。设a,b,c都不为零。因为算术数乘法满足结合律，故。故（1）两边的绝对值相等。如果a,b,c中有一个或三个都是负数，则（1）两边都为负数；如果a,b,c中没有负数或有两个负数，则（1）两边都是正数，说明（1）两边的符号相同。因此（1）成立。11、 指出下列集合中可以畅通无阻的算术运算，并且判断哪些集合构成数环：； ； ； ； ； ； 。答：（1） 加，乘，成环（2） 乘，除（3） 加，乘（4） 加，乘（5） 加，乘，除（6） 乘（7） 加，乘，成环（8）
4、 加，乘，成环12、 设有n个正分数 （分母为正分数）求证：.证明： 设 (1)即 (2) (3) (n). 14.已知近似数2315.4的相对误差界是，.是确定它的绝对误差界，并指出它的有效数字的个数。故近似数精确到个位所以有效数字有4个19.辨别下面的断语有无错误，错在哪里？（1）复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应。（2）两复数的和与积都是实数的充要条件是：这两个复数是共轭复数。（3）共轭虚数的正整数次幂仍是共轭虚数。（4）一个非零复数与它的倒数之和为实数的充要条件是它的模等于1。答：都有错误。（1） 所有向量改为：所有以原点为起点的向量。（2） 是充分条件而非必要条件。（3） 共轭虚数应改为：共轭复数。（4） 是充分条件而非必要条件。20.证明：当n为3的倍数时，而当n是其它正整数时，上式左边等于-1。22、 0112yABCDE0x1习题二
