《2015年高考第一轮复习数学:3.4--等差数列与等比数列的综合问题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2015年高考第一轮复习数学:3.4--等差数列与等比数列的综合问题(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4 等差数列与等比数列的综合问题知识梳理1.等差数列an的性质(1)am=ak+(mk)d,d=.(2)若数列an是公差为d的等差数列,则数列an+b(、b为常数)是公差为d的等差数列;若bn也是公差为d的等差数列,则1an+2bn(1、2为常数)也是等差数列且公差为1d+2d.(3)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,组成的数列仍为等差数列,公差为md.(4)若m、n、l、kN*,且m+n=k+l,则am+an=ak+al,反之不成立.(5)设A=a1+a2+a3+an,B=an+1+an+2+an+3+a2n,C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n,则A、B
2、、C成等差数列.(6)若数列an的项数为2n(nN*),则S偶S奇=nd,=,S2n=n(an+an+1)(an、an+1为中间两项);若数列an的项数为2n1(nN*),则S奇S偶=an,=,S2n1=(2n1)an(an为中间项).2.等比数列an的性质(1)am=akqmk.(2)若数列an是等比数列,则数列1an(1为常数)是公比为q的等比数列;若bn也是公比为q2的等比数列,则1an2bn(1、2为常数)也是等比数列,公比为qq2.(3)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,组成的数列仍为等比数列,公比为qm.(4)若m、n、l、kN*,且m+n=k+l,则aman
3、=akal,反之不成立.(5)设A=a1+a2+a3+an,B=an+1+an+2+an+3+a2n,C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n,则A、B、C成等比数列,设M=a1a2an,N=an+1an+2a2n,P=a2n+1a2n+2a3n,则M、N、P也成等比数列.二、典例剖析【例1】 (2005年春季北京,17)已知an是等比数列,a1=2,a3=18;bn是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a320.(1)求数列bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和Sn的公式;(3)设Pn=b1+b4+b7+b3n2,Qn=b10+b12+b14+b2n+8,其中n
4、=1,2,试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论.剖析:将已知转化成基本量,求出首项和公比后,再进行其他运算.解:(1)设an的公比为q,由a3=a1q2得q2=9,q=3.当q=3时,a1+a2+a3=26+18=1420,这与a1+a2+a320矛盾,故舍去.当q=3时,a1+a2+a3=2+6+18=2620,故符合题意.设数列bn的公差为d,由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26.又b1=2,解得d=3,所以bn=3n1.(2)Sn=n2+n.(3)b1,b4,b7,b3n2组成以3d为公差的等差数列,所以Pn=nb1+3d=n2n;b10,b12,b14,b2n+8组成以2
5、d为公差的等差数列,b10=29,所以Qn=nb10+2d=3n2+26n.PnQn=(n2n)(3n2+26n)=n(n19).所以,对于正整数n,当n20时,PnQn;当n=19时,Pn=Qn;当n18时,PnQn.评述:本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【例2】 (2005年北京东城区模拟题)已知等差数列an的首项a1=1,公差d0,且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)设数列cn对任意正整数n均有+=(n+1)an+1成立,其中m为不等于零的常数,求数列cn的前n
6、项和Sn.剖析:(1)依已知可先求首项和公差,进而求出通项an和bn;(2)由题先求出an的通项公式后再求Sn.解:(1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2,整理得2a1d=d2.a1=1,解得d=2(d=0不合题意舍去),an=2n1(n=1,2,3,).由b2=a2=3,b3=a5=9,易求得bn=3n1(n=1,2,3,).(2)当n=1时,c1=6;当n2时,=(n+1)an+1nan=4n+1,cn=(4n+1)mn1bn=(4n+1)(3m)= 当3m=1,即m=时,Sn=6+9+13+(4n+1)=6+=6+(n1)(2n+5)=2n2+3n+1.当3m1,即
7、m时,Sn=c1+c2+cn,即Sn=6+9(3m)+13(3m)2+(4n3)(3m)n2+(4n+1)(3m)n1. 3mSn=63m+9(3m)2+13(3m)3+(4n3)(3m)n1+(4n+1)(3m)n. 得(13m)Sn=6+33m+4(3m)2+4(3m)3+4(3m)n1(4n+1)(3m)n=6+9m+4(3m)2+(3m)3+(3m)n1(4n+1)(3m)n=6+9m+(4n+1)(3m)n.Sn=+.Sn= 评述:本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法.如“基本量法”“错位相减求和法”等.【例3】 (2005年北京海淀区模拟题)在等比数列an(nN*)
8、中,a11,公比q0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.(1)求证:数列bn是等差数列;(2)求bn的前n项和Sn及an的通项an;(3)试比较an与Sn的大小.剖析:(1)定义法即可解决.(2)先求首项和公差及公比.(3)分情况讨论.(1)证明:bn=log2an,bn+1bn=log2=log2q为常数.数列bn为等差数列且公差d=log2q.(2)解:b1+b3+b5=6,b3=2.a11,b1=log2a10.b1b3b5=0,b5=0.解得Sn=4n+(1)=.an=25n(nN*).(3)解:显然an=25n0,当n9时,Sn=0.n9时,anSn.a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=,a7=,a8=,S1=4,S2=7,S3=9,S4=10,S5=10,S6=9,S7=7,S8=4,当n=3,4,5,6,7,8时,anSn;当n=1,2或n9时,anSn.评述:本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想.三、思悟小结本节加强了数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意:(1)通过知识间的相互转化,使学生更好地掌握数学中的转化思想.(2)通过解数列与其他知识的综合问题,培养学生分析问题和解决问题的综合能力.