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1、 2006年全国硕士研究生入学考试数学（四）一、填空1 2设函数在的某邻域内可导，且，则法 3设函数可微，且，则在点（1，2）处的全微分 4已知为2维列向量，矩阵，。若行列式，则=5设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 。6设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，由 二、选择7设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量与分别为在点处对应的增量与微分，若，则（ ）（A）（B）（C）（D）8设函数在处连续，且，则（ ）（A）且存在 （B）且存在（C）且存在（D）且存在9设函数与在上连续，且，且对任何（ ）（A）（B）（C）（D）10设非齐次线性微分方程有两个不同的解，为任何常数，则该方程
2、通解是（ ）（A）（B）（C）（D）11设与均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点。下列选择正确的是（ ）（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则12设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第一列的-1倍加到第2列得，记，则（ ）（A）（B）（C）（D）13设为两个随机事件，且，则有（ ）（A）（B）（C）（C）14设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且，则必有（ ）（A）（B）（C）（D）三、解答题15设求：（1）（2）16计算二重积分，其中是由曲线，所围成的平面区域。17证明：当时，18在坐标平面中，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（
3、常数）（1）求的方程（2）当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值。19试确定常数的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小。20设4维向量组，问为何值时线性相关？当线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余量用该极大线性无关组线性表出。21设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量，是线性方程组的两个解。（1）求A的特征值与特征向量（2）求正交矩阵和对角矩阵，使；（3）求及，其中为3阶单位矩阵。22设二维随机变量（）的概率分布为其中为常数，且的数学期望，记求：（1）的值（2）的概率分布（3）23设随机变量的概率密度为令，为二维随机变量的分布函数。求：（1）的概率密度（2）（3）题解线代(4)
4、 设 a1, a2是两个2维向量，A=(2a1+ a2, a1- a2)，B=( a1, a2).已知|A|=6,则|B|=( ).解:可以用行列式的性质解,但是用新东方辅导班上介绍的“矩真分解法”来做更加简单:A=(2a1+ a2, a1- a2)=( a1, a2) 2 1 = B 2 1 ,1 -1 1 -1两边取行列式,得 6=-3|B|,|B|=-2.(5) 设A= 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则B= . -1 2解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,于是B=2(A-E)-1=|A-E|(A-E)-1 (|A-E|=2)=(A-E)*= 1 -1 . 1 1(
5、12)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0 P= 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA , 1 -1 0C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1. 0 0 1(20) 设 a1=(1+a,1,1,1),a2=(2,2+a,2,2), a3=(3,3+a,3,3), a4=(4,4,4,4+a).问a为什么数时a1,a2,a3,a4线性相关?在时a1,a2,a3,a4线性相关时求其一个极大线性
6、无关组,并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出.解:a1,a2,a3,a4线性相关,即行列式|a1,a2, a3, a4|=0,而|a1,a2, a3, a4|=a3(a+10),于是当a=0或-10时a1,a2, a3, a4线性相关.a=0时, a1是a1,a2, a3, a4的极大无关组, a2=2a1, a3=3a1, a4=4a1. a=-10时, -9 2 3 4 -10 0 0 10 1 0 0 -1 (a1,a2,a3,a4)= 1 -8 3 4 0 -10 0 10 0 1 0 -1 . 1 2 -7 4 0 0 -10 10 0 0 1 -1 1 2 3 6 1 2 3
7、-6 0 0 0 0 则a1,a2,a3是a1,a2, a3, a4的极大无关组, a4=-a1-a2-a3.(21) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量a1=(-1,2,-1)T, a2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解. 求A的特征值和特征向量. 求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得 Q TAQ=L. 求A及A-(3/2)E6 .解: 条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 a0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又a1,a2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于a1,a2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,
8、0,0.属于3的特征向量:ca0, c0.属于0的特征向量:c1a1+c2a2, c1,c2不都为0. 将a0单位化,得h0=(,)T.对a1,a2作施密特正交化,的h1=(0,-,)T, h2=(-,)T.作Q=(h0,h1,h2),则Q是正交矩阵,并且 3 0 0 Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 . 0 0 0 1 -1 0 3 0 0 1 1 1 A 1 -2 -1 = 3 0 0 ,解此矩阵方程,得A= 1 1 1 . 1 -1 1 3 0 0 1 1 1 (A-E)2= A2-3A+E=E, (A-E)6=E.概率（6）（13）C（14）A（22）解：（）的边缘分布为X-101Pa+0.2b+0.3c+0.1所以：（）Z-2-1012P0.20.10.30.30.1（）（23）随机变量的概率密度为，令，为二维随机变量的分布函数。（）求的概率密度；（）；（）解：（） ； 。所以：这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型。（）；所以：。（）。（23）设总体的概率密度为，其中是未知参数（01）。为来自总体的简单随机样本，记N为样本值中小于1的个数。求：（）的矩估计；（）的最大似然估计。解：（），所以：。（）对样本按照1或者1进行分类：1，1。似然函数，在1，1时，所以。
