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1、第四章三角函数 4 1三角函数的概念 同角三角函数的关系式及诱导公式 高考数学 考点三角函数的概念 同角三角函数的关系式和诱导公式1 弧度与角度的互化 1 圆弧的长等于半径长时 这条圆弧所对的圆心角叫1弧度的角 用符号rad表示 2 如果半径为R的圆的圆心角 所对弧的长为l 那么 角 的弧度数的绝对值是 3 扇形半径为R 圆心角的弧度数是 则这个扇形的弧长l R 面积S R2 周长C R 2R 4 1rad 57 30 57 18 知识清单 2 任意角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 3 角的推广 1 按逆时针方向旋转形成的角叫正角 按顺时针方向旋转
2、形成的角叫 负角 一条射线没有作任何旋转形成的角叫 零角 2 如果角的顶点与坐标原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 那么 角的终边在第几象限 这个角就叫第几象限角 3 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 构成的角的集合是 k 360 k Z 4 终边在x轴上的角的集合是 k 180 k Z 终边在y轴上的角的集合是 k 180 90 k Z 5 时 sin tan 4 同角三角函数的基本关系式 1 商数关系 tan 2 平方关系 sin2 cos2 1 5 诱导公式 若把 看成锐角 则角2k k Z 分别可看成第一 二 三 四象限角 这几组角的三角函数公式的记忆口诀是 函数名不变 符号看
3、象限 若把 看成锐角 则角 分别可看成第 一 二 三 四象限角 这几组角的三角函数公式的记忆口诀是 函数名改变 符号看象限 任意角的三角函数的定义的解题策略 1 已知角 终边上一点P的坐标 求三角函数值 先求出点P到原点的距离r 然后利用三角函数的定义求解 若含参数 需对参数进行讨论 2 已知角 的终边所在直线的方程 求三角函数值 先设出终边上一点的坐标 求出此点到原点的距离 然后利用三角函数的定义求解相关的问题 若直线的倾斜角为特殊角 也可直接写出角 的三角函数值 例1 2016浙江镇海中学阶段测试 7 在直角坐标平面内 已知函数f x loga x 2 3 a 0 且a 1 的图象恒过定点
4、P 若角 的终边过点P 则cos2 sin2 的值等于 A B C D 方法技巧 A 解题导引求点P的坐标 由三角函数定义求sin cos 的值 利用二倍角公式得结论 解析由题意知 点P的坐标为 1 3 所以sin cos 所以sin2 2sin cos 所以cos2 sin2 故选A 同角三角函数的关系式及诱导公式的解题策略对于sin cos sin cos sin cos 这三个式子 已知其中一个式子的值 可以求出其余两个式子的值 如 sin cos 2 1 2sin cos sin cos 2 1 2sin cos sin cos 2 sin cos 2 2 例2 2017浙江镇海中学阶
5、段性测试 15 已知3sin 4cos 5 则tan 解题导引导引一 把等式变形后两边平方 整理得关于cos 的方程 解方程求得cos 的值 进而求得sin 的值 由商数关系得结论导引二 把等式两边平方 逆用cos2 sin2 1 化为关于cos sin 的齐次式 利用 弦化切 得关于tan 的方程 解方程得结论导引三 构造 对偶式 4sin 3cos x 与已知式分别平方 再相加 求得x 结论导引四 引入辅助角 得到 与 的关系 利用诱导公式求出 sin cos 由商数关系得结论导引五 利用三角函数定义转化为求角 的终边所在直线的斜率 利用平方关系和已知条件知直线与圆相切 由直线与圆相切得结
6、论导引六 构造向量把三角函数问题转化为向量问题 利用向量共线得结论 解析解法一 由题易知3sin 5 4cos 两边平方得9sin2 25 40cos 16cos2 即25cos2 40cos 16 0 得cos 则sin 故tan 解法二 把等式平方得 3sin 4cos 2 25 即9sin2 24sin cos 16cos2 25 sin2 cos2 两边同时除以cos2 整理得16tan2 24tan 9 0 解得tan 解法三 设4sin 3cos x 则x2 25 4sin 3cos 2 3sin 4cos 2 25 从而有x 0 则tan 解法四 因为3sin 4cos 5sin 其中cos sin 易知sin 1 有 2k k Z 则sin sin cos cos cos sin 故tan 解法五 设x cos y sin 则有4x 3y 5 且x2 y2 1 从而角 终边上的点P x y 在单位圆上 且在直线l 4x 3y 5上 又直线l与单位圆相切 故直线l与角 的终边所在直线垂直 所以角 的终边所在直线的斜率为 故tan 解法六 设a sin cos b 3 4 a b a b 故a与b方向相同 则存在 0 使得a b 即sin 3 cos 4 故tan 答案
