《（浙江专版）高考数学一轮复习第八章立体几何8.4直线、平面垂直的判定和性质课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专版）高考数学一轮复习第八章立体几何8.4直线、平面垂直的判定和性质课件（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 8 4直线 平面垂直的判定和性质 高考数学 考点垂直的判定和性质一 线面 面面垂直的判定1 直线与平面垂直 1 定义 如果一条直线和一个平面相交 并且和这个平面内的 任意一条直线都垂直 则称这条直线和这个平面互相垂直 2 判定定理 如果一条直线和一个平面内的 两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 用数学符号表示为 已知m n m n B l m l n 则l 2 点到平面的距离 线到面的距离 1 从平面外一点引平面的一条垂线 这个点和垂足间的距离 叫做这个点到这个平面的距离 知识清单 2 一条直线和一个平面平行时 这条直线上任意一点到这个平面的距离 叫做这条直线和这个平面的距离 3
2、 平面与平面垂直 1 定义 一般地 平面 和 相交 如果它们所成的二面角是 直二面角 就说这两个平面互相垂直 记作 2 判定定理 一个平面经过另一个平面的 一条垂线 则这两个平面互相垂直 符号表示为 二 线面 面面垂直的性质1 直线与平面垂直的性质定理同 垂直于一个平面的两直线平行 2 直线与平面所成的角 设为 1 斜线与平面所成的角的定义 平面的一条斜线和它在这个平面内的 射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成的角 2 当一条直线垂直于平面时 规定它们所成的角是 直角 当一条直线和平面平行或在平面内时 规定它们所成的角为 0 的角 3 最小角定理 斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内
3、的直线所成的一切角中 最小的角 3 平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直 则一个平面内 垂直于交线的直线与另一个平面垂直 符号表示为 a 4 二面角的概念及计算 1 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 棱为AB 面分别为 的二面角记作二面角 AB 如果棱为l 那么这个 二面角记作 l 2 在二面角 l 的棱l上任取一点O 以点O为垂足 在半平面 和 内分别作垂直于棱l的射线OA和OB 则射线OA和OB构成的 AOB叫做二面角的平面角 二面角的大小可以用它的平面角来度量 二面角的平面角是多少度 就说这个二面角是多少度 平面角是直角
4、的二面角叫做直二面角 线面垂直的判定及性质的解题策略1 直线与平面垂直的判定定理的应用 应注意直线垂直于平面内两相交直线 解题思路 线线垂直 线面垂直 2 直线与平面垂直的性质定理的应用的解题思路 线面垂直 线线垂直 3 证明直线与平面垂直的常用方法 1 利用判定定理 2 利用平行线垂直于平面的性质 a b a b 3 利用面面平行的性质 a a 4 利用面面垂直的性质 l a a l a 例1 2017浙江名校新高考联盟第四次联考 19 如图 在四面体ABCD中 平面ACD 平面BCD BCA 90 AC 1 AB 2 BCD为等边三角形 方法技巧 1 求证 AC 平面BCD 2 求直线CD
5、与平面ABD所成角的正弦值 解题导引 1 由正三角形和面面垂直的性质得线面垂直 利用线面垂直的性质得线线垂直 利用线面垂直的判定得线面垂直 2 由等体积法求得点面距离 解直角三角形得结论 解析 1 取CD的中点M 连接BM BCD为等边三角形 BM CD 又 平面ACD 平面BCD 平面ACD 平面BCD CD BM 平面BCD BM 平面ACD BM AC 又BC AC AC 平面BCD 2 设点C到平面ABD的距离为d 由VC ABD VA BCD 即 d 3 1 得d 设直线CD与平面ABD所成角为 则sin 评析本题考查三角形性质 线面垂直的判定和性质 等体积法求点面距离 线面角的求法
6、等基础知识 考查逻辑推理能力和空间想象能力 面面垂直的判定及性质的解题策略1 证明平面与平面垂直的方法 1 利用面面垂直的判定定理 解题思路是 线面垂直 面面垂直 说明 利用线面垂直推出面面垂直时 注意 直线在其中一个平面内 这个条件 在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线 充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边 菱形的对角线互相垂直 勾股定理的逆定理等 2 利用定义证明 只需判定两平面所成的二面角为直二面角 2 利用面面垂直的判定定理可以确定线线 线面 面面的位置关系 证明面面垂直 3 利用面面垂直的性质定理可以证明线面垂直 例2 2017浙江嘉兴基础测试 18 如图 在三棱锥P ABC中
7、 ABC是等边三角形 D是AC的中点 PA PC 二面角P AC B的平面角的大小为60 1 求证 平面PBD 平面PAC 2 求AB与平面PAC所成角的正弦值 解题导引 1 由三线合一得线线垂直 由线面垂直的判定得线面垂直 由面面垂直的判定得结论 2 由面面垂直得线面垂直 得出线面角 解三角形得结论 解析 1 证明 由题意得BD AC PD AC 又BD PD D 所以AC 平面PBD 又AC 平面PAC 所以平面PAC 平面PBD 2 易知 PDB即为二面角P AC B的平面角 所以 PDB 60 作BO PD于O 连接AO 由 1 知BO 平面PAC 所以 BAO即为直线AB与平面PAC
8、所成的角 令AB 2a 则BD a BO BD a 所以sin BAO 评析本题考查线面垂直的判定和性质 面面垂直的判定和性质 线面角和二面角的平面角的作法和计算 考查空间想象能力和逻辑推理能力 折叠问题的解题策略平面图形翻折为空间图形 要正确作图 正确分析翻折前后点 线 面的相应位置关系及变化 必须抓住在翻折过程中点 线 面的位置关系与数量关系 明确哪些是变化的 哪些是不变的 特别要抓住不变的关系 这是解题的条件 一般地 在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的 涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是变化的 另外 翻折前与折线垂直的直线往往在翻折后构成了二面角的平面角 这对处理翻折问题起
9、到了关键性的作用 例3 2017浙江吴越联盟测试 17 如图1 在四边形ABCD中 A C 90 AB BC CD DA 1 现将 ABD沿对角线BD所在的直线折起 得到四面体ABCD 如图2 1 求证 AC BD 2 若CD DA 求二面角A BC D的余弦值 解题导引 1 找平面图形和翻折后图形中的长度 角度的变与不变关系 证线线垂直 由线线垂直得线面垂直 由线面垂直得线线垂直 2 利用面面垂直的性质 过点D作平面ABC的垂线 作二面角的平面角 解直角三角形得结论 解析 1 证明 如图 取AC的中点E 连接BE DE 因为BA BC 且E为AC的中点 所以BE AC 同理DE AC 又BE
10、 DE E 所以AC 平面BED 所以AC BD 2 在平面BDE中 过点D作DF BE 交BE的延长线于F点 连接CF 由 1 知AC 平面BDE 又AC 平面ABC 所以平面ABC 平面BDE 且平面ABC 平面BDE BE 又DF BE 所以DF 平面ABC 所以DF BC 又DC BC DF CD D 所以BC 平面CDF 故BC CF 则 DCF即为二面角A BC D的平面角 因为CD DA 所以AC 在 BDE中 BE DE BD 由余弦定理得cos DBE 所以sin DBE 故DF BD sin DBE 由DF BE DF BC 得DF 平面BCF 所以DF CF 故 DFC 90 所以sin DCF 所以cos DCF 故二面角A BC D的余弦值为 评析本题考查空间点 线 面的位置关系 考查学生的运算求解能力和推理论证能力 以及空间想象能力
