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1、 第十二章非正弦周期电流电路 12 2谐波分析和频谱 12 1非正弦周期信号 12 3非正弦周期信号的有效值 平均值和平均功率 12 4非正弦周期信号作用下的线性电路分析 本章学习目的与要求 了解非正弦周期量与正弦周期量之间存在的特定关系 理解和掌握非正弦周期信号的谐波分析法 明确非正弦周期量的有效值与各次谐波有效值的关系及其平均功率计算式 掌握简单线性非正弦周期电流电路的分析与计算方法 12 1非正弦周期信号 学习目标 掌握谐波的概念 理解非正弦周期信号与各次谐波之间的关系 12 1 1非正弦周期信号的产生 1 电路中含有非线性元件 如二极管半波整流电路 2 实验室中的信号发生器或示波器中的
2、水平扫描电压 输出周期性锯齿波 示波器 输入正弦波 3 一个电路中同时有几个不同频率的激励共同作用时 交流电源 直流电源 输出波为非正弦波 4 计算机内的脉冲信号 12 1 2非正弦周期信号 随时间按非正弦规律变化的周期性电压和电流 定义 例如 上图所示的周期性方波电压 是一个典型的非正弦周期信号波 它实际上可以看作是一系列大小不同的 频率成整数倍的正弦波的合成波 以一个周期的情况为例进行分析 u1与方波同频率 称为方波的基波 u3的频率是方波的3倍 称为方波的三次谐波 u1和u3的合成波 显然较接近方波 U1m 1 3U1m u5的频率是方波的5倍 称为方波的五次谐波 u13和u5的合成波
3、显然更接近方波 1 5U1m u135 由上述分析可得 如果再叠加上一个7次谐波 9次谐波 直到叠加无穷多个 其最后结果肯定与周期性方波电压的波形相重合 即 一系列振幅不同 频率成整数倍的正弦波 叠加以后可构成一个非正弦周期波 分析中的u1 u3 u5等等 这些振幅不同 频率分别是非正弦周期波频率k次倍的正弦波统称为非正弦周期波的谐波 并按照k是非正弦周期波频率的倍数分别称为1次谐波 基波 3次谐波 k为奇数的谐波一般称为非正弦周期函数的奇次谐波 k为偶数时则称为非正弦周期波的偶次谐波 而把2次以上的谐波均称为高次谐波 12 2谐波分析和频谱 学习目标 理解谐波和频谱的概念 熟悉非正弦波的谐波
4、表达式 掌握波形对称性与谐波成分的关系 理解波形 平滑性 的概念 12 2 1非正弦周期信号的傅里叶级数表达式 由上节内容可得 方波信号实际上是由振幅按1 1 3 1 5 规律递减 频率按基波频率的1 3 5 奇数倍递增的u1 u3 u5等正弦波的合成波 因此方波电压的谐波展开式可表示为 谐波展开式从数学的概念上可称为非正弦周期信号的傅里叶级数表达式 傅里叶级数表达式中的A是方波的最大值 参看课本上P132页中的表9 1 表中所示的一些典型非正弦周期信号的的傅里叶级数表达式表明 它们也都是由一系列正弦谐波合成而得 所不同的是 不同的非正弦周期信号波 它们各自所包含的谐波成分各不相同 寻找一个已
5、知非正弦周期波所包含的谐波 并把它们用傅里叶级数进行表达的过程 我们称为谐波分析 12 2 2非正弦周期信号的频谱 非正弦周期信号各次谐波振幅分别用线段表示在座标系中 所构成的图形称为振幅频谱图 非正弦周期信号用傅里叶级数表达式表示还不够直观 而用频谱图进行表示时 各次谐波分量的相对大小就会一目了然 图中每一条谱线代表一个相应频率的谐波分量 谱线的高度表示该谐波的振幅大小 显然 频谱图可以非常直观地表示出非正弦周期信号所包含的谐波以及各次谐波所占的 比重 如果把振幅频谱的顶端用虚线连接起来 则该虚线就称为振幅频谱的包络线 12 2 3波形的对称性与谐波成分的关系 观察表9 1中各波形可发现 方
6、波 等腰三角波只含有sin项的奇次谐波 锯齿波和全波整流都含有直流成分 且锯齿波还包含sin项的各偶次谐波 全波整流则包含cos项的各偶次谐波 显然 非正弦周期信号的谐波成分与其波形有关 谐波分析一般都是根据已知波形来进行的 而非正弦周期信号的波形本身就已经决定了该非正弦波所含有的谐波 根据波形的特点我们解释几个名词 奇函数 其特点是波形对原点对称 奇函数的傅里叶级数中只含有sin项 不存在直流和偶次谐波 偶函数 特点是波形对纵轴对称 偶函数的傅里叶级数表达式中只含有cos项 一般还包含直流成分 奇谐波函数 特点是波形的后半周与前半周具有镜像对称性 也称为奇次对称性 奇谐波函数的傅里叶级数表达
7、式中只含有奇次谐波 偶谐波函数 特点是波形的前 后半周变化相同 也称为偶次对称性 偶谐波函数的傅里叶级数表达式中一般只包含偶次谐波 零次谐波 非正弦周期波中的直流分量称为零次谐波 偶次谐波中一般包含零次谐波 观察方波波形 它不但具有对原点对称的特点 还具有奇次对称性 因此在它的傅里叶级数展开式中只含有sin项中的各奇次谐波 观察全波整流波的波形 它不但具有对纵轴对称的特点 还具有偶次对称性 因此在它的傅里叶级数展开式中只含有cos项中的各偶次谐波 且包含零次谐波成分 掌握了波形与谐波成分之间的上述关系 无疑给谐波分析的步骤带来简化 根据波形的对称性会很快找出相应的谐波 12 2 4波形的平滑性
8、与谐波成分的关系 观察表9 1中的波形1方波和波形2等腰三角波 不难发现它们都是奇函数且具有奇次对称性 因此它们的傅里叶级数表达式中都是仅只含sin项的奇次谐波 进一步观察又可看出 方波中含有的高效谐波成分比较严重 而等腰三角波中含有的高次谐波成分相对较轻 什么原因呢 观察波形 方波在一个周期内发生两次正 负之间的跃变 即波形极不平滑 而等腰三角波则总是在正 负半周均按直线规律上升或下降 整个周期内并没有发生跃变 因此其平滑性较方波好得多 归纳 非正弦周期波中含有的高次谐波成分是否严重 取决于它们波形的平滑性 即愈不平滑的波形所含有的高次谐波愈严重 12 3非正弦周期信号的有效值 平均值和平均
9、功率 学习目标 熟悉非正弦波有效值的计算式 了解它与正弦量有效值的区别和联系 掌握非正弦量平均值的含义及平均功率的计算 12 3 1非正弦周期量的有效值和平均值 非正弦周期量的有效值定义与正弦交流电有效值的定义完全相同 与非正弦周期量热效应相同的直流电的数值 称为该非正弦周期函数的有效值 实验和理论都可以证明 非正弦周期量的有效值 即非正弦周期量的有效值等于它的各次谐波有效值平方和的开方 正弦量的平均值是按半个周期来计算的 即 非正弦周期量的平均值要按一个周期进行计算 若非正弦周期量若为奇函数 其平均值一定为零 若为偶谐波函数 其平均值一定为正值 理论和实践都可以证明 非正弦量的平均值 显然
10、非正弦周期量的平均值在分析计算时 数值上就等于它的傅里叶级数表达式中的零次谐波 非正弦周期量的波形特点 还常常用波形因数和波顶因数来描述 波形因数等于非正弦周期量的有效值与平均值之比 波顶因数等于非正弦周期量的最大值与有效值之比 波形因数Ki和波顶因数KA均大于1 一般情况下波顶因数大于波形因数 即非正弦量的波形顶部越尖时 这两个因数越大 而非正弦周期量波形顶部越趋于平坦时 这两个因数越小 12 3 2非正弦周期量的平均功率 非正弦周期量通过负载时也要消耗功率 此功率与非正弦量的各次谐波有关 即 显然 只有同频率的正弦谐波电压和电流才能构成平均功率 例 已知有源二端网络的端口电压和电流分别为
11、求电路所消耗的平均功率 解 例 解 12 4非正弦周期信号作用下的线性电路分析 学习目标 了解在一定条件下 非正弦周期信号作用下的线性电路的分析方法 掌握较为简单的非正弦周期电流电路的计算 非正弦周期电流电路的分析计算一般步骤 1 将电路中的激励展开成傅里叶级数表达式 2 将激励分解为直流和一系列正弦谐波 一般计算至3 5次谐波即可 3 对各次谐波单独作用时的响应分别进行求解 4 求解出的响应均用解析式进行表示 5 将电路响应中的各次谐波分量进行叠加后即为待求响应 讨论几个不同频率的正弦激励在线性时不变电路中引起的非正弦稳态响应 几个频率不同的正弦激励在线性时不变电路中产生的稳态电压和电流 可
12、以利用叠加定理 分别计算每个正弦激励单独作用时产生的正弦电压uk t 和电流ik t 然后相加求得非正弦稳态电压u t 和电流i t 在计算每个正弦激励单独作用引起的电压和电流时 仍然可以使用相量法先计算出电压电流相量 然后得到电压电流的瞬时值uk t 和ik t 试用叠加定理求稳态电压u t 例10 27图 a 所示电路中 已知 解 1 计算单独作用时产生的电压 将电流源iS t 以开路代替 得到图 b 所示相量模型 由此求得 由相量写出相应的瞬时值表达式 2 计算单独作用时产生的电压 将电压源uS t 用短路代替 得到图 c 所示相量模型 由此求得 由相量写出相应的瞬时值表达式 3 根据叠
13、加定理求稳态电压u t 将每个正弦电源单独作用时产生的电压瞬时值相加 得到非正弦稳态电压u t 和的波形如图 a 所示 的波形如图 b 所示 它是一个非正弦周期波形 对于周期性非正弦信号在线性时不变电路中引起的稳态响应 也可应用叠加定理 按不同频率正弦激励下响应的计算方法求得 为此 先用傅里叶级数把非正弦周期信号分解为直流分量和一系列不同频率正弦分量之和 图 a b c 所示三种非正弦周期信号的傅里叶级数分别为 例10 28图10 56 a 所示幅度A 10V 周期T 6 28ms周期方波电压信号uS t 作用于图 b 所示电路 试求电阻上的稳态电压u t 图10 56 1 5V直流电压源作用
14、时 由于 0 在直流稳态条件下 电感相当于短路 所以 2 基波电压 20 cos 1t作用时 1 2 T 103rad s 根据相应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量 相应的瞬时值表达式为 3 三次谐波电压 20 3 cos 3 1t 作用时 3 1 3 103rad s 根据相应的相量模型可以计算出相应的相量电压分量 瞬时值表达式为 4 五次谐波电压 4 cos 5 1t 作用时 5 1 5 103rad s 根据相应的相量模型计算出相应的相量电压分量 瞬时值表达式为 注意 在用叠加法计算几个不同频率的正弦激励在电路中引起的非正弦稳态响应时 只能将电压电流的瞬时值相加 绝不能将不同频率正
15、弦电压的相量相加 5 其余谐波分量的计算方法相同最后将直流分量和各次谐波分量的瞬时值相加 就得到电阻上稳态电压的瞬时值 本题用计算机程序ACAP求得输出电压前12项的结果以及波形如下所示 u3 t 5 00Cos 000t 00 4 50Cos 1000 t 45 00 671Cos 3 000E 03t 108 43 250Cos 5 000E 03t 78 69 129Cos 7 000E 03t 98 13 7 811E 02Cos 9 000E 03t 83 66 5 240E 02Cos 1 100E 04t 95 19 3 756E 02Cos 1 300E 04t 85 60 2
16、 823E 02Cos 1 500E 04t 93 81 2 199E 02Cos 1 700E 04t 86 63 1 761E 02Cos 1 900E 04t 93 01 1 442E 02Cos 2 100E 04t 87 27 例 已知电路中 零次谐波电压单独作用时 由于直流下C相当开路 因此I0 0 解 例 f 50Hz 求i t 和电流有效值I 一次谐波电压单独作用时 应先求出电路中的复阻抗 然后再求一次谐波电流 三次谐波电压单独作用时 五次谐波电压单独作用时 电流解析式根据叠加定理可求得 电流的有效值 其中三次谐波电压 电流同相 说明电路在三次谐波作用下发生了串联谐振 计算非正弦量作用下的电路时应注意的问题 1 当直流分量单独作用时 遇电容元件按开路处理 遇电感元件则要按短路处理 2 任意正弦分量单独作用时的计算原则与单相正弦交流电路的计算方法完全相同 只是必须注意 不同谐波频率下电感和电容上的电抗各不相同 3 用相量分析法计算出来的各次谐波分量是不能直接进行叠加的 必须根据相量与正弦量的对应关系表示成正弦量的解析式后再进行叠加 4 不同频率的各次谐波响应是不能画在同一
