多元函数微分ppt课件

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1、高数课件重庆大学数理学院教师吴新生第八章多元函数微分法及其应用开始退出第一节多元函数的基本概念返回第二节偏导数第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式第六节微分法在几何上的应用第八节多元函数的极值及其求法第七节方向导数与梯度第三节全微分总习题返回一区域四多元函数的连续性三多元函数的极限二多元函数概念第一节多元函数的基本概念习题第一节多元函数的基本概念一区域1 邻域设是xOy平面上的一个点是某一正数与点距离小于的点的全体称为的邻域记为即也就是返回下一页 2 区域设E是平面上的一个点集 P是平面上的一个点如果存在点P

2、的某一邻域使则称P为E的内点图8 1 如果点集E的点都是内点则称E为开集如果点P的任一邻域内既有属P于E的点也有不属于E的点 E则称P为E的边界点图8 2 设D是开集如果对于D内的图8 1任何两点都可用折线连结起下一页上一页返回来而且该折线上的点都属于D P则称开集D是连通的连通的开集称为区域或开区域 E开区域连同它的边界一起称为闭区域图8 23 n维空间设n为取定的一个自然数我们称有序n元数组的全体为n维空间而每个有序n元数组称为n维空间中的一个点数称返回下一页上一页为该点的第i个坐标 n维空间记为 n维空间中两点及间的距离规定为返回下一页

3、上一页二多元函数概念定义1设D是平面上的一个点集如果对于每个点P x y D 变量z按照一定法则总有确定的值和它对应则称z是变量x y的二元函数或点P的函数记为点集D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z 例题返回下一页上一页也称为因变量数集称为该函数的值域把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D 则可类似的定义n元函数当n 1时 n元函数就是一元函数当n 2时n元函数统称为多元函数返回下一页上一页三多元函数的极限二元函数当即时的极限这里表示点以任何方式趋于也就是点与点间的距离趋于零即定义2设函数f x y 在开区域或闭区域内有定义是D

4、的内点或边界点如果对于任意给定的正数总存在正数使得对于适合不等式返回下一页上一页的一切点P x y D 都有成立则称常A为函数f x y 当时的极限记作或这里例题返回下一页上一页四多元函数的连续性定义3设函数f x y 在开区域或闭区域 D内有定义是D的内点或边界点且如果则称函数f x y 在点连续若函数f x y 在点不连续则称为函数f x y 的间短点函数返回下一页上一页当x 0 y 0时的极限不存在所以点 0 0 是该函数的一个间断点函数在圆周上没有定义所以该圆周上各点都是间断点是一条曲线性质1 最大值和最小值定理在有界闭区域

5、D上的多元连续函数在D上一定有最大值和最小值在D上至少有一点及一点使得为最大值而为最小值即对于一切P D 有返回下一页上一页性质2 介值定理在有界闭区域D上的多元函数如果在D上取得两个不同的函数值则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次如果是函数在D上的最小值m和最大值M之间的一个数则在D上至少有一点Q 使得f Q 性质3 一致连续性定理在有界闭区域上的多元连续函数必定在D上一致连续若f P 在有界闭区域D上连续那么对于任意给定的正数总存在正数使得对于D上的返回下一页上一页任意二点只要当时都有成立一切多元初等函数在其定义区域内是连续的

6、由多元初等函数的连续性如果要求它在点处的极限而该点又在此函数的定义区域内则极限值就是函数在该点函数值即例题返回上一页一偏导数的定义及其计算方法二高阶偏导数第二节偏导数习题返回一偏导数的定义及其计算方法定义设函数在点的某一邻域内有定义当y固定在而x固定在处有增量 x时相应地函数有增量如果 1 存在则称此极限为函数在点处对x的偏导数记作返回下一页例如极限 1 可以表示为 2 类似地函数在点对y的偏导数定义为返回下一页上一页 3 记作如果函数在区域D内每一点 x y 处对x的偏导数都存在那么这个偏导数就是x y函数它就称为函数对自变量x的偏

7、导函数记作返回下一页上一页类似的可以定义函数z f x y 对自变量y的偏导函数记作求时只要把y暂时看作常量对x求导数求时只要把暂x时看作常量对y求导数例题返回下一页上一页图8 6 返回下一页上一页二高阶偏导数设函数z f x y 在区域D内具有偏导数那么在D内都是x y的函数如果这两个函数的偏导数也存在则称它们是函数z f x y 的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同下列四个二阶偏导数返回下一页上一页二元函数z f x y 在点的偏导数有下述几何意义设为曲面z f x y 上的一点过作平面截此曲面得一曲线此曲线在平面上的方程为则导数

8、即偏导数就是这曲线在点处的切线对x轴的斜率见图8 6 同样偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对y轴的斜率返回下一页上一页其中第二第三两个偏导数称为混合偏导数同样可得三阶四阶以及n阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数定理如果函数z f x y 的两个二阶混合偏导数及在D内连续那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等例题例题返回上一页第三节全微分及其应用习题下一页返回第三节全微分及其应用二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时因变量相对于该自变量的变化率上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的偏增量而右端分

9、别叫做二元函数对x和对y的偏微分设函数z f x y 在点P x y 的某邻域内有定义并设为这邻域内的任意一下一页上一页返回点则称这两点的函数值之差为函数在点P对应于自变量增量 x y的全增量记作 z 即定义如果函数z f x y 在点 x y 的全增量 1 可表示为下一页上一页返回其中A B不依赖于 x y而仅与x y有关则称函数z f x y 在点 x y 可微分而称为函数z f x y 在点 x y 全微分记作dz 即 2 如果函数在区域D内各点处都可微分那么称这函数在D内可微分下面讨论函数z f x y 在点 x y 可微分的条件定理1 必要条件如

10、果函数z f x y 在点下一页上一页返回 x y 可微分则该函数在点 x y 的偏导数必定存在且函数z f x y 在点 x y 的全微分为 3 证设函数z f x y 在点P x y 可微分于是对于点P的某个邻域内的任意点 2 式总成立特别当时 2 式也应成立这时所以 2 式成为下一页上一页返回上式两边各除以再令而极限就得从而偏导数存在而且等于A 同样可证 B 所以三式成立证毕下一页上一页返回定理2 充分条件如果z f x y 的偏导数在 x y 连续则函数在该点可微分证因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数对于偏导数也如此所以假定

11、偏导数在点P x y 连续就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思设点为这邻域内任意一点考察函数的全增量下一页上一页返回在第一个方括号内的表达式由于y y不变因而可以看作是x的一元函数的增量于是应用拉格郎日中值定理得到又依假设在点连续所以上式可写为下一页上一页返回 4 其中为 x y的函数且当时同理可证第二个方括号内的表达式可写为 5 其中为 y的函数且当时由 4 5 两式可见在偏导数连续的假定下全增量 z可以表示为下一页上一页返回容易看出它就是随着即而趋于零的这就证明了z f x y 在点P x y 是可微分的例题上一页返回第

12、四节多元复合函数的求导法则返回下一页习题第四节多元复合函数的求导法则定理如果函数及都在点t可导函数z f u v 在对应点 u v 具有连续偏导数则符合函数在t可导切其导数可用下列公式计算 1 证设t获得增量 t 这时的对应增量为 u v 由此函数z f u v 下一页上一页返回相应的获得增量 z 根据规定函数z f u v 在点 u v 具有连续偏导数于是由第三节公式 6 有这里当时将上式两边各除以 t 得因为当时下一页上一页返回所以这就证明符合函数在点t可导且其导数可用公式 1 计算证毕全微分形式不变设函数z f u v 具有连续偏导数则有

13、全微分下一页上一页返回如果u v又是x y的函数且这两个函数也具有连续偏导数则复合函数的全微分为下一页上一页返回其中及发分别由公式 4 及 5 给出把公式 4 及 5 中的及带如上式得下一页上一页返回由此可见无论z是自变量u v的函数或中间变量u v的函数它的全微分形式是一样的这个性质叫做全微分形式不变性上一页返回一一个方程的情形二方程组的情形第五节隐函数的求导公式返回习题一一个方程的情况隐函数存在定理1设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单质来年许具有连续导数的函数它满足条件并有 1

14、返回下一页公式推导将方程所确定的函数代入得恒等式其左端可以看作是x的一个复合函数求这个函数的全导数由于恒等式两端求导后仍然恒等即得由于且所以存在的返回下一页上一页一个邻域在这个邻域内于是得如果的二阶偏导数也都连续我们可以把等式 1 的两端看作x的复合偏导数而再求一次导即得返回下一页上一页隐函数存在定理可以判定由方程所确定的二元函数的存在以及这个函数的性质隐函数存在定理2设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数返回下一页上一页且则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数它满足条件并有 2 将公式 2 做如下的推导

15、由于将上式两端分别对x和y求导应用复合函数求导返回下一页上一页法则得因为连续且所以存在点的一个邻域在这个邻域内于是得返回下一页上一页二方程组的情况考虑方程组 5 在四个变量中一般只能有两个变量独立化因此方程组 5 就有可能确定两个二元函数这种情形下我们可以由函数F G的性质来断定方程组 5 所确定的两个二元函数的存在以及它们的性质返回下一页上一页隐函数存在定理3设以及在点的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数又且偏导数所组成的函数行列式或称雅可比 Jacobi 行列式返回下一页上一页在点不等于零则方程组在点的某一邻域内恒能唯一确定

16、一组单值连续且具有连续偏导数的函数它们满足条件并有返回下一页上一页 6 返回下一页上一页下面仅就公式 6 做如下推导由于返回下一页上一页将恒等式两边分别对x求导应用复合函数求导法则得这是关于的线性方程组由假设可知在点的一个邻域系数行列式返回下一页上一页从而可解出得同理可得返回上一页一空间曲线的切线与法平面二曲面的切平面与法线第六节微分法在几何上的应用返回习题一空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程 1 这里假定 1 式的三个函数都可导在曲线上取对应与的一点及对应于的邻近一点根据解析几何曲线的割线的方程是返回下一页当沿着趋于时割线的极限位置就是曲线在点处的切线图8 7 用 t除上式的各分母得令这 t 0 通过对上式取极限即得图8 7曲线在点处的切线方程返回下一页上一页这里当要假定都不能为零切线的方向向量称为曲线的切向量向量就是曲线通过在点处的一个切向量点通过而与切线垂直的平面称为曲线在返回下一页上一页点处的法平面它是通过点而以T为法向量的平面因此这法平面的方程

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