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1、第七章多目标优化设计方法 7 1概述 一 多目标优化及数学模型 单目标最优化方法 多目标最优化方法 多目标优化的实例 物美价廉 设计车床齿轮变速箱时 要求 7 1概述 续 各齿轮体积总和 尽可能小 降低成本 各传动轴间的中心距总和 使变速箱结构紧凑 合理选用材料 使总成本 尽可能小 尽可能小 尽可能小 传动效率尽可能高 机械耗损率 在优化设计中同时要求几项指标达到最优值的问题称为多目标优化设计问题 7 1概述 续 例如 在机械加工时 对于用单刀在一次走刀中将零件车削成形 为选择合适的切削速度和每转给进量 提出以下目标 机械加工成本最低 生产率最高 刀具寿命最长 还应满足的约束条件是 进给量小于
2、毛坯所留最大加工余量 刀具强度等 7 1概述 续 对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多目标优化问题 其数学模型的表达式可写为 求 向量形式的目标函数 设计变量应满足的所有约束条件 n维欧氏空间的一个向量 7 1概述 续 二 几个基本概念 设 1 最优解 D为可行域 若对于任意 恒使 成立 则称X 为多目标优化问题的绝对最优解 简称最优解 若干个最优解组成的集合称为绝对最优解集 用表示 只有当F X 的各个子目标fi X 的最优点都存在 并且全部重叠于同一点时 才存在有绝对最优解 7 1概述 续 设 2 有效解 非劣解 D为可行域 若不存在 使 成立 则称X 为多目标优化问题的非劣解或有
3、效解 若干个有效解组成的集合称为有效解集 用表示 7 1概述 续 设 3 弱有效解 弱非劣解 若不存在 使 成立 则称X 为多目标优化问题的弱非劣解或弱有效解 所有弱有效解组成的集合称为弱有效解集 用表示 三者之间关系 在多目标优化设计中 如果一个解使每个分目标函数 值都比另一个解为劣 则这个解称为劣解 三 多目标优化问题的特点及解法 7 1概述 续 多目标优化是向量函数的优化 单目标函数是标量函数的优化 对于多目标优化问题 任何两个解不一定能比较其优劣 多目标优化问题得到的可能只是非劣解 有效解 而非劣解往往不止一个 需要在多个非劣解中找出一个最优解 1 特点 7 1概述 续 2 解法 直接
4、求出非劣解 然后再选择较好的解 间接法 将多目标优化问题转化为单目标优化问题 三 多目标优化问题的特点及解法 续 线性加权和法 主要目标函数法 理想点法 平方和加权法 子目标乘除法 功效系数法 将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题 分层序列法 宽容分层序列法 直接法 7 2统一目标函数法 综合目标法 一 基本思想 统一目标函数法就是设法将各分目标函数f1 X f2 X fl X 统一到一个新构成的总的目标函数f X 这样就把原来的多目标问题转化为一个具有统 目标函数的单目标问题来求解 即 D为可行域 f1 X f2 X fl X 为各个子目标函数 7 2统一目标函数法 续 二 统一目标函
5、数的构造方法 1 线性加权和法 线性加权组合法 根据各子目标的重要程度给予相应的权数 然后用各子目标分别乘以他们各自的权数 再相加即构成统一目标函数 即评价函数为 应满足归一性和非负性条件 各子目标函数 权数 优化的数学模型为 注意 1 建立这样的评价函数时 各子目标的单位已经脱离了通常的概念 2 权数 加权因子 的大小代表相应目标函数在优化模型中的重要程度 目标越重要 权数越大 权因子的确定方法 在确定权因子前 应先将各子目标函数进行无量纲化 处理的方法是 是多目标问题中某个带量纲的子目标 是作了无量纲处理后的第i个子目标函数 1 专家评判法 老手法 凭经验评估 并结合统计处理来确定权数的方
6、法 特点 方法实用 但要求专家人数不能太少 2 容限法 若已知子目标函数fi X 的变动范围为 则称 为该目标函数的容限 这时权数可取为 目的 在评价函数中使各子目标在数量级上达到统一平衡 3 加权因子分解法 本征权因子 反应第i个目标的相对重要程度 校正权因子 用于调整各目标在量级方面差异的影响 目的 使目标变化快慢不一致的趋于一致 7 2统一目标函数法 续 2 理想点法 基本思想 使各个目标尽可能接近各自的最优值 从而求出多目标函数的较好的非劣解 二 统一目标函数的构造方法 续 步骤 先用单目标优化方法求得各子目标的约束最优值和相应的最优点 然后构造评价函数 评价函数 7 2统一目标函数法
7、 续 3 平方和加权法 基本思想 在理想点法的基础上引入权数 二 统一目标函数的构造方法 续 评价函数 构造评价函数 满足归一性和非负性条件 7 3主要目标函数法 基本思想 从所有L个子目标函数中选出一个设计者认为最重要的作为主要目标函数 而将其余L 1个子目标限制在一定的范围内 并转化为新的约束条件 将多目标优化问题转化为单目标优化问题 设f2 X 为主要目标函数 则优化的数学模型为 原问题第t个目标函数的上限值 7 4功效系数法 基本思想 先按各子目标值的 优 或 劣 即 功效 分别求出与其对应的功效函数 然后再由各个功效函数构造出问题的评价函数进行求解 目的是将多目标优化问题转化为单目标
8、优化问题 7 4功效系数法 一 功效系数 多目标优化设计中 各子目标的要求不同 极小值 极大值 一个合适的数值 每个子目标都用一个功效函数di表示 其值为功效系数 功效函数的范围 0 1 fi X 的值满意时 di 1 fi X 的值不满意时 di 0 二 评价函数 7 4功效系数法 续 用所有子目标的功效系数的几何平均值作为评价函数 f X 的值越大 设计方案越好 反之越差 f X 1时 表示取得最满意的设计方案 f X 0时 表示此设计方案不能接受 该评价函数不会使某一个目标最不满意 功效系数法的特点 三 功效函数的确定 a 目标函数越大越好 b 目标函数越小越好 c 目标函数过大过小都不
9、好 对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多目标优化问题 若有S个子目标函数为求极小 而其余L S个子目标函数为求极大时 各子目标对应的功效函数的求法 7 4功效系数法 续 三 功效函数的确定 续 1 在可行域D中求出各子目标函数的最小值和最大值 7 4功效系数法 续 三 功效函数的确定 续 2 对于前S个要求极小化的子目标函数fi X 若规定对应的功效函数满足 则可得线性功效函数为 7 4功效系数法 续 三 功效函数的确定 续 3 对于后面L S个要求极大化的子目标函数fi X 若规定对应的功效函数满足 则可得功效函数为 7 4功效系数法 续 三 功效函数的确定 续 4 对于L个子目标函
10、数对应的功效函数为 5 优化问题的数学模型为 评价函数 五 功效系数法的特点 1 直接按要求的性能指标来评价函数 直观 且初步试算后 调整方便 2 无论各子目标的量级和量纲如何 最终都转化为在 0 1 区间取值 而且一旦有一个子目标达不到要求 则其相应的功效系数为0 从而使评价函数也为0 表明不能接受所得设计方案 3 可以处理既非越大越好 也非越小越好的目标函数 4 对难以事先确定目标函数取值范围的情况不适用 7 5分层序列法及宽容分层序列法 将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题的求解方法 分层序列法 宽容分层序列法 7 5分层序列法及宽容分层序列法 续 一 分层序列法 1 基本思想 将
11、多目标优化问题中的l个目标函数分清主次 按照其重要程度逐一排除 然后依次对各个目标函数求最优解 只是后一目标应在前一目标最优解的集合域内寻优 2 基本步骤 在第一个目标函数的最优解集合域内 求第二个 目标函数 的最优值 也就是将第一个目标函数转 化为辅助约束 即求 的最优值 记作 然后再在第一 第二个目标函数的最优解集合域内 求第三个目标函数的最优值 此时 第一 第二个目标函数转化为辅助约束 即求 最优值 记作 一 分层序列法 续 最优值是 一 分层序列法 续 以此类推 最后求第 目标函数 的最优值 即 对应的最优点是 3 分层序列法的优缺点 在求解过程中可能会出现中断现象 使求解过程无法继续
12、进行下去 当求解到第k个目标函数的最优解是唯一时 则再往后求第 k 1 k 2 l个目标函数的解就完全没有意义了 尤其是当求得的第一个目标函数的最优解是唯一时 则失去了多目标优化的意义了 二 宽容分层序列法 1 基本思想 这种方法是对各目标函数的最优值放宽要求 可以对各目标函数的最优值取给定的宽容值 即 1 0 2 0 这样 在求后一个目标函数的最优值时 对前一目标函数不严格限制在最优解内 而是在前一目标函数最优值附近的某一范围内进行优化 因而避免了计算过程的中断 二 宽容分层序列法 续 其中 最后求得最优解 两目标优化问题用宽容分层序列法求最优解的情况如图 二 宽容分层序列法 续 二 宽容分层序列法 续 例题 用宽容分层序列法求解 式中 解 按重要程度将目标函数排队为 f1 x f2 x 首先求解 得最优点x 1 2 对应的最优值为 设给定的宽容值 1 0 052 则可得 然后求解最优解 即求 求得最优解为 x 2 1 9 这就是该两目标函数的最优点x 对应的最优值为 多目标优化方法的比较
