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1、数学 试卷(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 集合Ax|x2k1，kZ，B1，2，3，4，则AB_2. 已知复数zabi(a，bR)，且满足iz9i(其中i为虚数单位)，则ab_3. 某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时为7分钟，有15人用时为8分钟，还有4 人用时为10分钟，则高二(4)班全体同学中午用餐平均用时为_分钟4. 函数f(x)(a1)x3(a1，a2)过定点_5. 已知等差数列an(公差不为0)，其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为_6. 小李参加有关“学习强国
2、”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道做答，小李会做其中的3道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_7. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA11，点E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是_(第7题)(第8题)8. 如图所示的流程图中，输出n的值为_9. 圆C：(x1)2(y2)24关于直线y2x1对称的圆的方程为_10. 已知正方形ABCD的边长为2，圆O内切于正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点， 则的取值范围是_11. 双曲线C：1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连结PA交圆O于点Q
3、，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2.若k1k2，则_12. 若对于任意的正数a，b，不等式(2aba2)k4b24ab3a2恒成立，则k的最大值为_13. 在直角三角形ABC中，C为直角，BAC45，点D在线段BC上，且CD CB.若tanDAB，则BAC的正切值为_14. 已知函数f(x)|x21|x2kx9在区间(0，3)内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(2ab，c)，向量n(cos B，cos C)，且
4、mn.(1) 求角C的大小；(2) 求ysin Asin(B)的最大值16. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，PAD为锐角三角形，且平面PAD底面ABCD，点E为PD的中点，CDDP.求证：(1) OE平面PAB；(2) CDPA.17. (本小题满分14分)已知椭圆C：1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点(2，)，过点F2且不平行于坐标轴的直线l交椭圆于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR交x轴于点M.(1) 求PF1Q的周长；(2) 求PF1M面积的最大值18. (本小题满分16分)一酒企为扩大生产规模，决定
5、新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD(如图所示)，其中ADAB.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450 m3，深2 m若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65 400元(1) 求发酵池AD边长的范围；(2) 在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4 m和b m的走道(b为常数)问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小19. (本小题满分16分)已知an，bn均为正项数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且a1，b11，b22，当n2，nN*时，Sn112an，bn2Tn1.(
6、1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 设cn，求数列cn的前n项和Pn.20. (本小题满分16分)设函数f(x)ln xax，aR，a0.(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)0有两个零点x1，x2(x1x2)() 求a的取值范围；() 求证：x1x2随着的增大而增大数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知a，bR，矩阵A.若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P(2，1)在A对应的变换作用下得到点P(1，2)，求矩阵A.22.(本小题满分10分)已知曲线C1：(其中为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
7、C2的极坐标方程为cos()2.设曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求AB的长23. (本小题满分10分)如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，点O为AB的中点， AEB90，EAB30，AB2，AD3.(1) 求异面直线OC与DE所成角的余弦值；(2) 求二面角ADEC的正弦值24.(本小题满分10分)对于任意的x1，nN*，用数学归纳法证明：ex1.数学参考答案及评分标准1. 1，32. 83. 4. (0，2)5. 46. 7. 8. 49. (x3)2y2410. 0，111. 12. 213. 314. (，8)15. 解：(1) mn， (2ab)cos Cccos B0.
8、(2分)由正弦定理可得2sin Acos Csin Bcos Csin Ccos B0，(4分)即2sin Acos Csin(BC)sin A(6分)又A为ABC的内角， sin A0， cos C.又C为ABC的内角，故C.(8分)(2) ysin Asin(B)sin(B)sin(B)(10分)cos Bsin Bsin Bcos Bsin Bcos B2sin(B)，(12分)当B时，y的最大值为2.(14分)16. 证明：(1) 连结BD，因为底面是平行四边形，故BD经过O点，且点O为BD的中点又点E为PD的中点，所以OEPB.(4分)因为OE平面PAB，PB平面PAB，所以OE平面
9、PAB.(6分)(2) 在平面PAD内作PHAD，由于PAD为锐角三角形，设PHADH.因为平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCDAD，PHAD，PH平面PAD，所以PH平面ABCD.(8分)又CD平面ABCD，所以PHCD.(10分)而CDDP，PHPDP，PH，PD平面PAD，所以CD平面PAD.(12分)而PA平面PAD，则CDPA.(14分)17. 解：(1) 由椭圆的焦距为4，则c2，从而a2b24.又椭圆过点(2，)，所以1，即36b225a29a2b2，消去b，得9a497a21440，解得a29或a2(舍去)，所以a3.(4分)则PF1Q的周长为4a12.(6分)(2)
10、 由(1)得椭圆方程为1，F2(2，0)设直线l的方程为yk(x2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(m，0)，则R(x2，y2)，直线PR的方程为yy1(xx1)，令y0，则y1(xx1)，xx1，所以mx1.(8分)将直线l的方程与椭圆方程联立，并消去y，得(59k2)x236k2x36k2450，则x1x2，x1x2，(10分)从而m，(12分)SPF1MF1M|y1|y1|y1|，所以PF1M面积的最大值为.(14分)18. 解：设发酵池AD边长为x m，则另一边长为 m，且x，即x15.(2分)(1) 2252004(x)15065 400，(4分)化简得x234x2250，
11、解得9x25，(6分)所以发酵池AD边长的范围是15，25(8分)(2) 发酵馆占地面积S(x8)(2b)22516b2bx，15x25，(10分)令S2b0，解得x，(0，)(，)S0S递减递增当15，即b4时，AD边为15 m，S最小；(12分)当1525，即b4时，AD边长为 m，S最小；(14分)当25时，即0b时，AD边长为25 m，S最小(16分)答：(1) 发酵池AD边长的范围是15，25(2) 当b4时，AD边长为15 m，S最小；当b4时，AD边长为 m，S最小；当0b时，AD边长为25 m，S最小(注：答不写扣2分)19. 解：(1) 因为当n2，nN*时Sn112an，所
12、以Sn12an1，两式相减得an2an2an1，即an2an1，所以.(2分)当n2时，a112a2，所以a2，所以，所以数列an为等比数列，其通项公式为an.(4分)当n2，nN*，bn2Tn1，所以(bn2Tn1)(bn1bn1)2(TT)，所以(TnTn1)(bn1bn1)2(TT)因为TnTn10，所以bn1bn12(TnTn1)2bn，(6分)所以数列bn为等差数列，且b11，b22，所以数列bn的通项公式为bnn.(8分)(2) 因为cnan，(12分)所以Pn()()1，即Pn1.(16分)20. (1) 解：因为f(x)a，x0，当a0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单
13、调递增；(2分)当a0时，x(0，)，f(x)0，x(，)，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减综上，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，无减区间；当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，)(4分)(2) () 解：由(1)可知：当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，函数f(x)至多有一个零点，不符合；(5分)当a0时，f()ln a1， 若f()ln a10，即a时，f(x)0恒成立，所以函数f(x)无零点，不符合； 若f()ln a10，即a时，f(x)只有一个零点，不符合； 若f()ln a10，即0a时，此时e.f(1)a0，所以f(x)在(0，)上只有一个零点，(8分)f()2ln ，设te，则g(t)2ln tt，因为g(t)10，g(t)在(e，)上单调递减，g(t)g(e)2e0，即f()0，所以f(x)在(，)上只有一个零点，(9分)即0a时，f(x)有两个零点，函数有
