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1、习题答案3p. 148 习题4.11. 求下列曲面的第二基本形式： (1)旋转椭球面：； (2) 旋转椭圆抛物面：；(3) 双曲抛物面：；(4)一般柱面：；(5)劈锥曲面：. 解. (1) ，.又，.所以，.(2) ，.，. (3) ，.不妨设. 则，.(4) ，.(5) ，. 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) ，是常数. 解. 由条件知在曲面上，并且，即 . (1)因此是曲面的法向量. 不妨设. 则单位法向量.于是由于，故曲面的第二基本形式为.如果由(1)解出，再代入上式可得 . 3. 求曲线的切线曲面的第二基本形式，其中s是该曲线的弧长参数. 解. 设正则曲线的曲率和挠率分别为，Fr
2、enet标架为，它的切线曲面的参数方程为.则，.，. 6. 证明：如果在可展曲面上存在两个不同的单参数直线族，则是平面. 证明. 设可展曲面的参数方程为. 则沿着直母线的单位法向量是常向量，即. 所以第二类基本量中. 剩下的只要证明，从而由定理1.1，是平面.为此，设在上任一固定点，异于直母线的另一族直线中过该点的直线的弧长参数方程为，并且. 则在处的单位切向量是，它不能与在的直母线的切向量平行，故. 另一方面，因为是直线，有，即. 所以. 于是在点成立. 因为，可得. 由于点是任意的，可知. p. 157 习题4.21. 设悬链面的方程是，求它的第一、第二基本形式，并求它在点处沿切向量的法曲
3、率. 解. 不妨设. 令，则，. (1)悬链面的方程可化为，于是，.，. 在点处，切向量中，曲面的法曲率. 注. 参数是悬链面的等温坐标，并且参数网是正交的曲率线网. 此时，.4. 设曲面和曲面的交线为. 设p为曲线上一点，假定曲面和曲面在点p处沿曲线的切方向的法曲率分别是和. 如果曲面和曲面在点p处的法向量的夹角是，求曲线在点p处的曲率.解. 设在p点C的Frenet标架为，曲率为，曲面的单位法向量分别为. 因为均垂直于C的切方向，所以它们共面. 不妨设绕着由到的有向角为，到的有向角为，. 令，. 则，.于是，.当时，只有种情况：(1)，即. 此时，所以. 则 . (1)因此.化简得. 因此
4、.(2)，即或. 此时，或，所以. 则同理有， (2).当(或)时，有(或)，从而(或). 此时(2)式(或(1)式)成为恒等式，无法确定. 7. 设是曲面上的一条非直线的渐近线，其参数方程为，其中s是弧长参数. 证明：的挠率是 .证明. 设曲面的参数方程为，单位法向量为. 设C的弧长参数方程为，Frenet标架为，曲率为. 由于是上的渐近线，根据定理2.4，有，其中，. 根据Frenet公式， .利用Lagrange恒等式，可得.将，代入上式，得 . p. 166 习题4.31. 求抛物面在原点处的法曲率和主曲率.解. 曲面的参数方程为，故，.，所以在原点处，.不妨设. 因为在原点处，且，所
5、以分别是法曲率的最大、最小值，因而是抛物面在原点的主曲率. 注. 在原点，从而根据下一节定理4.2立即可知主曲率是. 4. 证明：曲面上任意一点p的某个邻域内都有正交参数系，使得参数曲线在点p处的切方向是曲面在该点的两个彼此正交的主方向. 证明. 根据第三章定理4.2，在上任意一点p的某个邻域内都有正交参数系. 假设这个正交参数系是. 如果p点是脐点，则任何方向都是主方向，从而这个正交参数系的参数曲线在点p处的切方向是曲面在该点的两个彼此正交的主方向. 设p点不是脐点. 则在点p处有两个单位正交的主向量. 设.作参数变换，.由于，上述参数变换是可允许的. 在新参数下，.特别在p点，有，是曲面在
6、p点的两个彼此正交的单位主向量. 由于，参数系不一定是正交参数，只知道在p点. 因此还要作一次参数变换，取-曲线及其正交轨线作为参数曲线. 考虑1次微分式. 根据常微分方程知识，存在积分因子使得是一个全微分，即有函数使得.现在作参数变换，. 则，参数变换是可允许的. 在新参数下，所以这说明参数系是正交的. 因为在p点，有，所以是曲面在p点的两个彼此正交的主方向. 5. 设在曲面S的一个固定点p的切方向与一个主方向的夹角为，该切方向所对应的法曲率记为，证明：，其中. 证明. 根据Euler公式，. 所以有 . p. 175 习题4.42. 求旋转面的高斯曲率，其中为平面曲线的弧长参数. 解. ，
7、 (1).因为曲面是正则的，所以，不妨设. 因为是的弧长参数，所以， (2)其中是的相对曲率. 因此曲面的单位法向量为.所以，. (3)由(1)，(2)和(3)可知，.根据定理4.3，的主曲率为，Gauss曲率为. 4. 求双曲抛物面的Gauss曲率，平均曲率，主曲率和它们所对应的主方向. 解. 因为， .所以，.又，其中.因为，所以. 于是，.因为，所以主曲率对应的主方向为，其中.所以.同理，另一个主曲率为，对应的主方向为. 注. 由可知参数曲线网是渐近曲线网，而主方向是渐近方向的二等分角方向，所以主方向和是参数曲线的二等分角轨线方程的两个根. 由此可得求解主曲率的另一方法：将分别代入，即
8、，得到对应于主方向的主曲率，以及对应于主方向的主曲率.6. 在曲面上每一点沿法线截取长度为(足够小的正数)的一段，它们的端点的轨迹构成一个曲面，称为原曲面的平行曲面，其方程是，.从点到的对应记为. (1) 证明：曲面和曲面在对应点的切平面互相平行；(2) 证明：对应把曲面上的曲率线映为曲面上的曲率线；(3) 证明：曲面和曲面在对应点的Gauss曲率和平均曲率有下列关系：，.证明. (1) 因为， (1)所以.当时，. 因此对每一点，存在该点的邻域，使得当足够小时，从而是正则曲面. 由(1)可见，所以在对应点和的切平面互相平行. (2) 设是上的任意一条曲率线. 则由Rodriques定理，有，
9、 (2)其中是曲面在点的主曲率. 对应把上的曲率线映为曲面上的曲线，它的方程为.因此. (3)上面已经证明了沿着，也是的单位法向量. 结合(2)和(3)可得. (4)根据Rodriques定理，也是上的曲率线. (3) 用和分别表示曲面和上的Weingarten变换. 设是曲面在任意一点的两个主曲率，对应于的主方向是. 则沿着该切方向，有.另一方面，沿着该切方向，有.所以在曲面上.这说明是曲面在点的主方向，对应的主曲率是.同理，曲面在点的另一个主曲率是.于是在对应点，曲面的Gauss曲率和平均曲率分别为，. 注. 本题的结论是局部的：对每一点，为了保证是正则曲面，只能在该点的某个邻域上，取足够
10、小，才有这些结论. p. 184 习题4.53. 研究习题4.4中第5题的管状曲面上各种类型点的分布情况. 解. 管状曲面的参数方程为，其中是一条弧长参数曲线，是它的Frenet标架，是一个常数. 设该参数曲线的曲率和挠率分别是和. 因为 ，所以. 取充分小，使得，从而是正则曲面，单位法向量为.于是，.由于，并且，所以(1) 当时，这些点是抛物点. 它们构成两条正则曲线：和.由于，曲面上没有平点.(2) 当时，这些点是椭圆点.(3) 当时，这些点是双曲点. p. 190 习题4.62.(1) 证明：是极小曲面，其中是常数. 该曲面称为Scherk曲面. (2) 证明：形如的极小曲面必定是Sch
11、erk曲面. (1) 证明. Scherk曲面的参数方程为. 故，.因此 ，.由于，所以，Scherk曲面是极小曲面. (2) 证明. 曲面的参数方程为. 故，.因此，.由得到，即.上式可化为 . (1)由于上式左边是的函数，右边是的函数，故只能是常数. 设此常数为. 当时，由(1)可知，其中是常数. 于是该极小曲面是平面，其中. (不是Scherk曲面)下面设. 由(1)得. 令，即. 则有.于是. 在轴方向作一平移，可设. 从而，积分得.同理，由可得.于是 . 4. (1) 证明：正螺面是极小曲面. (2) 证明：形如的极小曲面必定是正螺面.(1) 证明. 因为，所以，.又，所以，.因此，正螺面是极小曲面. (2) 证明. 曲面的参数方程为. 故，.，.所以，.由得到，化简：，即有.如果，则. 它表示一个平面，不是正螺面. 设. 则上式可化为，即，其中. 所以，其中是积分常数. 再积分一次，得.通过在轴方向作一平移，不妨设积分常数. 于是.在平面上取极坐标：，则，即 .再次沿轴方向作一平移，就得到曲面的参数方程，其中. 它是正螺面. 6. 推导极小曲面所满足的微分方程.解. 曲面的参数方程为. 故，.，.所以，.由得到. 14 / 14
