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1、 1 9 绝密绝密 启用前启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用 橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 已知集合 02A 210 12B 则AB A 02 B 12 C 0 D 21012 2 设 1i 2i 1
2、i z 则z A 0 B 1 2 C 1 D 2 3 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地了解该地区农村 的经济收入变化情况 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例 得到如下饼图 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4 已知椭圆C 22 2 1 4 xy a 的一个焦点为 2 0 则C的离心率为 A 1 3 B 1 2 C 2 2 D 2 2 3 5 已知圆柱的上 下底面的中心分别为
3、 1 O 2 O 过直线 12 OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形 则该圆柱的表面积为 A 12 2 B 12 C 8 2 D 10 2 9 6 设函数 32 1f xxaxax 若 f x为奇函数 则曲线 yf x 在点 00 处的切线方程为 A 2yx B yx C 2yx D yx 7 在 ABC中 AD为BC边上的中线 E为AD的中点 则EB A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 8 已知函数 22 2cossin2f xxx 则 A f x的最小正周期为 最大值为 3 B f x的最小正周期为 最大值为
4、 4 C f x的最小正周期为 2 最大值为 3 D f x的最小正周期为 2 最大值为 4 9 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如右图 圆柱表面上的点M在 正视图上的对应点为A 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B 则 在此圆柱侧面上 从M到N的路径中 最短路径的长度为 A 2 17 B 2 5 C 3 D 2 10 在长方体 1111 ABCDABC D 中 2ABBC 1 AC与平面 11 BBCC所成的角为30 则该长方 体的体积为 A 8 B 6 2 C 8 2 D 8 3 11 已知角 的顶点为坐标原点 始边与x轴的非负半轴重合 终边上有两点 1Aa 2Bb 且 2
5、cos2 3 则ab A 1 5 B 5 5 C 2 5 5 D 1 12 设函数 20 1 0 x x f x x 则满足 12f xfx 的 x 的取值范围是 A 1 B 0 C 10 D 0 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知函数 2 2 logf xxa 若 31f 则a 14 若x y 满足约束条件 220 10 0 xy xy y 则 32zxy 的最大值为 15 直线 1yx 与圆 22 230 xyy 交于A B 两点 则AB 16 ABC的 内 角 ABC 的 对 边 分 别 为a bc 已 知sinsin4 sinsinbCcBaBC 2
6、22 8bca 则 ABC的面积为 3 9 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题 考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 已知数列 n a 满足 1 1a 1 21 nn nana 设 n n a b n 1 求 123 bbb 2 判断数列 n b 是否为等比数列 并说明理由 3 求 n a 的通项公式 18 12 分 如 图 在 平 行 四 边 形ABCM中 3A BA C 90ACM 以AC为折痕将 ACM折起 使点M到达点 D的位置 且ABDA 1 证明 平
7、面ACD 平面ABC 2 Q为线段AD上一点 P为线段BC上一点 且 2 3 BPDQDA 求三棱锥QABP 的体积 4 9 19 12 分 某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据 单位 m3 和使用了节水龙头 50 天的日用 水量数据 得到频数分布表如下 未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 00 1 0 10 2 0 20 3 0 30 4 0 40 5 0 50 6 0 60 7 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 00 1 0 10 2 0 20 3 0 30 4 0 40 5 0 50 6 频数
8、 1 5 13 10 16 5 1 在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图 2 估计该家庭使用节水龙头后 日用水量小于 0 35 m3的概率 3 估计该家庭使用节水龙头后 一年能节省多少水 一年按 365 天计算 同一组中的数据以 这组数据所在区间中点的值作代表 5 9 20 12 分 设抛物线 2 2Cyx 点 20A 20B 过点A的直线l与C交于M N两点 1 当l与x轴垂直时 求直线BM的方程 2 证明 ABMABN 21 12 分 已知函数 eln1 x f xax 1 设2x 是 f x的极值点 求a 并求 f x的单调区间 2 证明 当 1 e a
9、时 0f x 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系xOy中 曲线 1 C的方程为2yk x 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立 极坐标系 曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 cos30 1 求 2 C的直角坐标方程 2 若 1 C与 2 C有且仅有三个公共点 求 1 C的方程 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 11f xxax 1 当1a 时 求不等式 1f x 的解集 2 若 01x 时不等式 f xx 成立 求a的取值范围 6 9 绝密绝密 启用前启
10、用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一 选择题 1 A 2 C 3 A 4 C 5 B 6 D 7 A 8 B 9 B 10 C 11 B 12 D 二 填空题 13 7 14 6 15 2 2 16 2 3 3 三 解答题 17 解 1 由条件可得 an 1 2 1 n n a n 将 n 1 代入得 a2 4a1 而 a1 1 所以 a2 4 将 n 2 代入得 a3 3a2 所以 a3 12 从而 b1 1 b2 2 b3 4 2 bn 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 由条件可得 1 2 1 nn aa nn 即 bn 1 2bn 又 b1 1 所
11、以 bn 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 3 由 2 可得 1 2n n a n 所以 an n 2n 1 18 解 1 由已知可得 BAC 90 BAAC 又 BA AD 所以 AB 平面 ACD 又 AB 平面 ABC 所以平面 ACD 平面 ABC 2 由已知可得 DC CM AB 3 DA 3 2 又 2 3 BPDQDA 所以2 2BP 7 9 作 QE AC 垂足为 E 则QE 1 3 DC 由已知及 1 可得 DC 平面 ABC 所以 QE 平面 ABC QE 1 因此 三棱锥QABP 的体积为 111 13 2 2sin451 332 Q ABPABP VQES 19 解
12、 1 2 根据以上数据 该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0 35m3的频率为 0 2 0 1 1 0 1 2 6 0 1 2 0 05 0 48 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0 35m3的概率的估计值为 0 48 3 该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为 1 1 0 05 10 15 30 25 20 35 40 45 90 55 260 65 5 0 48 50 x 该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为 2 1 0 05 10 15 50 25 130 35 100 45 160 55 5 0 35 50 x 估计使用节水龙头后 一年可节省水
13、3 0 480 35 36547 45 m 20 解 1 当 l 与 x 轴垂直时 l 的方程为 x 2 可得 M 的坐标为 2 2 或 2 2 所以直线 BM 的方程为 y 1 1 2 x 或 1 1 2 yx 2 当 l 与 x 轴垂直时 AB 为 MN 的垂直平分线 所以 ABM ABN 当 l 与 x 轴不垂直时 设 l 的方程为 2 0 yk xk M x1 y1 N x2 y2 则 x1 0 x2 0 8 9 由 2 2 2 yk x yx 得 ky2 2y 4k 0 可知 y1 y2 2 k y1y2 4 直线 BM BN 的斜率之和为 12211212 1212 2 22 2
14、2 BMBN yyx yx yyy kk xxxx 将 1 1 2 y x k 2 2 2 y x k 及 y1 y2 y1y2的表达式代入 式分子 可得 1212 211212 24 88 2 0 y yk yy x yx yyy kk 所以 kBM kBN 0 可知 BM BN 的倾斜角互补 所以 ABM ABN 综上 ABM ABN 21 解 1 f x 的定义域为 0 f x aex 1 x 由题设知 f 2 0 所以 a 2 1 2e 从而 f x 2 1 eln1 2e x x f x 2 11 e 2e x x 当 0 x 2 时 f x 2 时 f x 0 所以 f x 在 0
15、 2 单调递减 在 2 单调递增 2 当 a 1 e 时 f x e ln1 e x x 设 g x e ln1 e x x 则 e1 e x g x x 当 0 x 1 时 g x 1 时 g x 0 所以 x 1 是 g x 的最小值点 故当 x 0 时 g x g 1 0 因此 当 1 e a 时 0f x 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 解 1 由 cosx siny 得 2 C的直角坐标方程为 22 1 4xy 2 由 1 知 2 C是圆心为 1 0 A 半径为2的圆 由题设知 1 C是过点 0 2 B且关于y轴对称的两条射线 记y轴右边的射线为 1 l y轴左边的射
16、 线为 2 l 由于B在圆 2 C的外面 故 1 C与 2 C有且仅有三个公共点等价于 1 l与 2 C只有一个公共点且 2 l 与 2 C有两个公共点 或 2 l与 2 C只有一个公共点且 1 l与 2 C有两个公共点 9 9 当 1 l与 2 C只有一个公共点时 A到 1 l所在直线的距离为2 所以 2 2 2 1 k k 故 4 3 k 或0k 经检验 当0k 时 1 l与 2 C没有公共点 当 4 3 k 时 1 l与 2 C只有一个公共点 2 l与 2 C有两个 公共点 当 2 l与 2 C只有一个公共点时 A到 2 l所在直线的距离为2 所以 2 2 2 1 k k 故0k 或 4 3 k 经检验 当0k 时 1 l与 2 C没有公共点 当 4 3 k 时 2 l与 2 C没有公共点 综上 所求 1 C的方程为 4 2 3 yx 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 解 1 当1a 时 1 1 f xxx 即 2 1 2 11 2 1 x f xxx x 故不等式 1f x 的解集为 1 2 x x 2 当 0 1 x 时 1 1 xaxx 成立等价于当 0 1 x 时
