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1、 2018 年浙江省高中数学竞赛试卷 参考答案 1 已知a为正实数 且 11 1 x f x aa 是奇函数 则 f x的值域为 解解 由 f x为奇函数可知 1111 11 xx aaaa 解得2a 即 11 221 x f x 由此得 f x的值域为 1 1 2 2 2 设数列 n a满足 11 1 51 nn aaa 1 2 n 则 2018 n 1n a 解解 由 11 1151 515 4444 n nnnnn aaaaa 所以 20192018 1220182018 1 120185201858077 555 51 441641616 n n a 3 已知 3 4 cos 4 5
2、sin 12 413 则 cos 4 解解 由 3 4 cos 4 5 得 35 sin cos 5413 所以 cos 56 cos cos sin sin 44465 4 在八个数字 2 4 6 7 8 11 12 13 中任取两个组成分数 这些分数中有 个既约分数 解解 在 7 11 13 中任取一个整数与在 2 4 6 8 12 中任取一个整数构成既约分数 共 有 11 35 230C C 种 在 7 11 13 中任取两个整数也构成既约分数 共有 2 3 6A 中 合 计有 36 种不同的既约分数 5 已知虚数z满足 3 10z 则 20182018 1 11 z zz 解解 322
3、 10 1 1 010zzzzzz 所以 20182018 20183 67222 220183 1345 11 11 1 11 zzzzz zzzzzz 6 设10AB 若平面上点P满足 对于任意tR 有3APtAB 则 PA PB 的最小值为 此时 PA PB 解解 由3APtAB 可知点P 到直线AB的距离为 3 设 AB的中点为O 由极化恒等式得 2222 111 2 10 36100 16 444 PA PBPAPBPAPBPO 此时 PA PB 6 7 在 ABC中 7ABAC 且三角形的面积为 4 则sinA 的最小值为 解解 由 49 7 4 ABACABAC 又 1327 s
4、inA4sinA 2492 ABACABAC 时取等号 8 设 1 2 f xxxx 则 10f f x 有 个不同的解 解解 因为 3 1 1 10 1 2 31 02 3 2 xx xx f xxxx xx xx 由 10f f x 得到 2 f x 或 0f x 由 2 f x 得一个解1x 由 0f x 得两个解 1 3 3 xx 共 3 个解 9 设 x yR 满足 64 12 0 xyxy 则x的取值范围为 解解 由 22 64 12 0 2 3 1xyxyxyy 令 22 2cos 3sin 2cos 3sin xyyx 2 1452sin sin 13 所以142 13142
5、13x 10 四面体PABC 6PABC 8PBAC 10PCAB 则该 四面体外接球的半径为 解 将四面体还原到一个长方体中 设该长方体的长 宽 高分别为 a b c 则 22 22222 22 10 812 6 ab bcabc ac 所以四面体外接球的半径为3 二 解答题 11 本题满分 20 分 已知动直线l与圆O 22 1xy 相切 与椭圆 2 2 1 9 x y 相交于不同的两点 A B 求原点到AB的中垂线的最大距离 解解 依题意可设 0 l ykxm k 因为直线l与圆O相切 所以 O到直线l的距离为 1 即 2 1 1 m k 5 分 这样的直线必与椭圆交于不同的两点 112
6、2 A x yB xy 联立 22 990 ykxm xy 得 222 19 18 99 0kxkmxm 得到 12 2 18 19 km xx k 所以AB的中点坐标为 22 9 1919 kmm kk 10 分 AB的中垂线方程为 22 19 1919 mkm yx kkk 化简得 2 8 0 19 km xky k O到直线中垂线的距离 2 2 8 19 1 km k d k 15 分 将 2 1 1 m k 代入 2 2 8 19 1 km k d k 得 2 8 19 k d k 由均值不等式 2 196kk 故 4 3 d 当且仅当 1 3 k 时取等号 所以 当 1 3 k 3
7、10 m时 原点到AB的中垂线的最大距离为 4 3 20 分 12 本题满分 20 分 设aR 且对任意实数b均有 2 0 1 max1 x xaxb 求a的 取值范围 解解 1 1 设 2 f xxaxb 对于1 0 1bf 所以只要考虑1b 5 分 1 当0 2 a 时 即0 a 此时函数 f x的最值在抛物线的左右端点取得 对 任意1b 所以 1 11fab 解得1a 10 分 2 当 1 0 22 a 时 即10a 此时函数 f x的最值在抛物线的顶点和右 端点取得 而对0b 有 2 111 1 24 aa faf 3 当 1 1 22 a 时 即21a 此时函数 f x的最值在抛物线
8、的顶点和 左端点取得 而对0b 有 2 01 1 24 aa fbf 15 分 4 当1 2 a 时 即2a 此时函数 f x的最值在抛物线的左右端点取得 对任意1b 有 01 fb 1 若 10091010 xx同为正数 由 2 nn xx同号可知 122018 x xx 同号 5 分 由 2 12100910101011 1 2 1100810091010 nn nnn nn xxxxx xx x xxxxx 100910101011 10081011 1008 1xxxxxx 10 分 同理 100910091008101110121012 10071012 10071008100710
9、1010111010 1 xxxxxx xx xxxxxx 类似可证明 100610131005101412018 1 1 1xxxxx x 15 分 因此 2018 1 1 n n x 矛盾 2 若 10091010 xx同为负数 由 2 nn xx同号可知 122018 x xx 均为负数 仍然有 2 12 1 2 1 nn nnn nn xx xx x xx 类似 1 可证得 20 分 14 本题满分 30 分 将2n 2n 个不同整数分成两组 1212 nn a aa b bb 证明 11 1 ijjiji i nij n j n abaabbn 证明证明 令 11 1 nijjiji
10、 i nij n j n Tabaabb 下面用归纳法证明 n Tn 当2n 时 不妨设 121222 aa bb ab 2212211122121 Tbabababaaabb 当 11 ab 5 分 当 11 ab 22211 2Tbaab 10 分 假设对正整数n成立 对正整数1n 不妨设 12112111 nnnn aaabbbab 再设 11knk bab 则有 1111111 1111 nnnn nnininininnn iiii TbaabaabbbaT 15 分 下证 1111 1111 0 nnnn nininini iiii baabaabb 由 1 11 1 2 knk b
11、abkn 25 分 2 若 11n ab 30 分 15 本题满分 30 分 如图所示将同心圆环均匀分成n 3n 格 在内环中 固定数字1 n 问能否将数字1 n填入外环格内 使得外环旋转任意格后有且 仅有一个格中内外环的数字相同 解答 设对应于内环 1 2 n 的外环数字为 12 n i ii 它是数字 1 2 n 的 一个排列 对1 2 kn 记外环数字 k i在按顺时针方向转动 k j格时 和内环数 字相同 即 mod 1 2 kk ikjnkn 10 分 根据题意 12 n jjj 应是01 2 1n 的排列 求和 11 1 mod 0 12 1 mod 1 mod 2 nn kk kk ikjnnnn nn 于是 n 必须是奇数 20 分 对于奇数 n 我们取 1 2 1 nm in inm mn 可以验证 mod kk ikjn 121 2 0 2 4 1 nnnn n jjjjn 1131 2 2 4 6 1 nn jnjnjnj 符合题目要求 30 分
