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1、高中2011 年第 7 8 期 点拨 数学有数 发散思维是指在思维过程中信息向各种可能的方 向扩散 不局限于既定的模式 从不同的角度寻找解 决问题的各种途径 具体地说 就是依据定理 公式 和已知条件 产生多种想法 广开思路 提出新的设 想 发现和解决新的问题 发散思维富于联想 思路 宽阔 善于分解 组合 引申 推广 灵活采用各种 变通方法等 在学习中运用发散思维 可以找到解决 问题的多种方式方法 运用发散思维来处理高考数学 试题 可以得到简洁 优美 令人耳目一新 叹为观 止的解答 下面通过2011年全国数学卷第21题加以 分析 题目 2011年全国II理科21题 已知O为 坐标原点 F为椭圆C
2、 x2 y 2 2 1在y轴正半轴上的焦 点 过F且斜率为 2 姨 的直线l与C交与A B两 点 点P满足O 姨姨 A O 姨姨 B O 姨姨 P 0 軋 I 证明 点P在C上 II 设点P关于点O的对称点为Q 证明 A P B Q四点在一个圆上 I 分析 要想证明点P在 曲线C上 只需求出点P的坐 标 验证点P的坐标满足曲线C 的方程 从而给出证明 证明 I 设A x1 y1 B x2 y2 P x3 y3 由椭圆C x2 y 2 2 1知焦 点F的坐标为 0 1 故直线l的方 程为y 2 姨x 1 代入椭圆方程x2 y 2 2 1消去y化 简得 4x2 22 姨x 1 0 x1 x2 2姨
3、 2 y1 y2 2 姨 x1 x2 2 1 由O 姨姨 A O 姨姨 B O 姨姨 P 0 軋 可得O姨姨 P O 姨姨 A O 姨姨 B 可 得 x3 x1 x2 2姨 2 y3 y1 y2 2姨 x1 x2 2 1 而 2姨 2 2 1 2 2 1 故点P在椭圆x2 y 2 2 1 上 II 发散思维分析1 要证明四点共圆 只需找到 它们所共圆的圆心及半径即可 根据圆的性质可知 若四点共圆 则圆心为线段AB与线段PQ的垂直平 分线交点 可得 证法一 如图2 由 I 可知 AB中点坐标为M 2姨 4 1 2 故线段AB垂直平分线方程为 y 1 2 2姨 2 x 2姨 4 即y 2姨 2 x
4、 1 4 点P关于点O的对称点为Q 则Q坐标为 2姨 2 1 直线PQ的斜率为 1 1 2姨 2 2姨 2 2姨 所以线段 PQ的垂直平分线方程为y 2姨 2 x 而y 2姨 2 x 1 4 与y 2姨 2 x相交 交点坐 标为N 2姨 8 1 8 NP 2姨 2 2姨 8 2 1 1 8 2 姨 311姨 8 AB 1 2姨 2姨 x2 x1 32姨 2 AM 32姨 4 MN 2姨 4 2姨 8 2 1 2 1 8 2 姨 33姨 8 NA AM 2 MN2 姨 311姨 8 所 以NP NA NP NQ NA NB 故A P B Q四点共圆 点评 证四点共圆 可以求出圆心与半径 圆 心的
5、寻找利用弦的垂直平分线过圆心这点来寻找 发散思维分析2 由于可以求出四个点的坐标 故可以先由其中三点确定一个圆 然后验证第四个点 在它们确定的圆上 故得 证法二 由证法一可得由A B P三确定的圆的 方程为 x 2姨 8 2 y 1 8 2 99 64 将点Q的坐 标 2姨 2 1 代入方程 x 2姨 8 2 y 1 8 2 99 64 可知 满足此方程 故A P B Q四点共圆 发散思维揭秘高考试题 2011年高考全国卷理科数学第21题解法探析 隋玉梅王子亮 45 高中2011 年第 7 8 期 点拨 数学有数 点评 先由某些点确定一个圆 然后在证明其 它点在这个圆上 也能证明多点共圆 发散
6、思维分析3 根据证法二可以换个角度思 考 若求出A P B与A B Q所确定的圆的方程 相同 则这四点共圆 也就是我们常说的同一法 证法三 同一法 这里不再证明 点评 不同点确定的圆相同 也起到证明多点 共圆的效果 发散思维分析4 题目中所给的条件是用向量给 出的 这样很容易想到向量的夹角与四点共圆的判定 方法 若四边形的一个外角等于与它不相邻的内角 则这四点共圆 所以可以从求图形中的角入手得到 证法四 如 图3 由 I 可 求 得A 2姨 6姨 4 1 3姨 2 B 2姨 6姨 4 1 3姨 2 P 2姨 2 1 A PP P 32姨 6姨 4 3 3姨 2 P PP B 32姨 6姨 4
7、3 3姨 2 O PP A 2姨 6姨 4 1 3姨 2 O PP B 2姨 6姨 4 1 3姨 2 cos A PP P P PP B A PP P P PP B A PP P P PP B 33姨 11 cos O PP A O PP B O PP A O PP B O PP A O PP B 33姨 11 而点P关于点O的对称点 为Q O PP A O PP B O PP P 0 軋 O PP A O PP B O PP Q可得 AQB AOB APB为四边形APBQ的外角 根据四边形一外角等于与 它不相邻的内角 则四点共圆可得 A P B Q四点共 圆 点评 向量在求角中威力相当大 此
8、方法正是 利用了向量来求两直线所形成的角 发散思维分析5 同样从角出发 可以利用两 直线的夹角公式来计算 证法五 tan APB kPA kPB 1 kPAkPB y1 1 x1 2姨 2 y2 1 x2 2姨 2 1 y1 1 x1 2姨 2 y2 1 x2 2姨 2 3 x2 x1 3x1x2 3 2姨 2 x1 x2 9 2 4 x2 x1 3 同 理tan AQB kQB kQA 1 kQAkQB y2 1 x2 2姨 2 y1 1 x1 2姨 2 1 y2 1 x2 2姨 2 y1 1 x1 2姨 2 x1 x2 3x1x2 2姨 2 x1 x2 1 2 4 x2 x1 3 所以 A
9、PB AQB 互补 因此A P B Q四点在同一圆上 点评 直线到直线的角公式不常用 但在求两 直线形成的角中也不麻烦 发散思维分析6 根据相交弦定理的逆定理 线段AB与CD相交于O 若满足 AO OB CO OD 则A B C D共圆的思想 可得 证法六 由题意可知线段AB与线段PQ相交于 AB中 点M 由 证 法 一 可 得 AM 32姨 4 MB 32姨 4 PM 3 6姨 4 MQ 6姨 4 AM MB PM MQ 因此A P B Q四点在同一圆上 点评 利用两点间距离公式及直线与二次曲线 相交的弦长是解析几何中求线段长的常用方法 发散思维分析7 同样由分析6的思想 结合直 线的参数方
10、程中参数的几何意义 很容易求出 AM MB 与 PM MQ 的值 这需要写出直线AB与直线PQ的参 数方程 证法七 设直线AB的倾斜角为 直线PQ的 斜率为 线段AB的中点为M x0 y0 则 直线AB的方程为 x x0 t cos y y0 t sin t为参数 直线 PQ的方程为 x x0 p cos y y0 p sin p为参数 代入椭圆 方程 整理得 2cos2 sin2 t2 4x0cos 2y0sin t 2x02 y0 2 0 2cos2 sin2 p2 4x0cos 2y0sin p 2x02 y0 2 0 由 I 可得P 2姨 2 1 Q 2姨 2 1 直线PQ 的斜率为
11、1 1 2姨 2 2姨 2 2姨 而直线AB的斜率 为 2 姨 cos2 cos2 sin2a sin2 t1t2 p1p2 即 MA MB MP MQ 所以A P B Q四点共圆 点评 直线的参数方程要理解其参数的几何意义 46 高中2011 年第 7 8 期 点拨 数学有数 这对利用参数方程解决问题其关键作用 从上面的证明我们可以看出 利用发散思维 从 求出四点所在的圆的圆心与半径 四边形外角等于不 相邻内角 圆幂定理等不同方向来证明四点共圆 而 每一种方法中 我们又从不同的知识点如四边形外角 等于不相邻内角这个问题中 我们从向量夹角及直线 到直线的角两种方式给出了证明 运用圆幂定理中我
12、们又用了直线的参数方程及直接求线段的长两种方 式 所以对所遇到的数学问题 从不同的角度出发 利用发散思维 条条道路通罗马 先思考有哪些道 路 如何走每条道路 这样对一题多解及寻找题目的 简单解法会很有帮助 跟踪练习 练习一 如图4 过不在椭圆上的任一点M作直 线l1 l2 分别交椭圆于A B和C D四点 若l1 l2的倾斜角为 且 则A B C D四 点共圆 证明可参考证法七 练习二 设A B是椭圆3x2 y2 上的两点 点 N 1 3 是线段AB的中点 线段AB的垂直平分 线与椭圆相交于C D两点 确定 的取值范围 并求直线AB的方程 试判断是否存在这样的 使得A B C D四点在同一个圆上
13、 并说明理由 参考答案 I 利用点N 1 3 在椭圆内 可求得 的取值范围是 12 利用点差法可得直线AB 的斜率为 1 从而得AB的方程为x y 4 0 II 可参考文中证法一 作者单位 山东省聊城第三中学 责任编校徐国坚 2011年广东高考理科数学第19题是一道考查数 形结合的好题目 我们先来看看该题的解析 然后由 此题进行拓展 变式 以使得同学们获得举一反三的 效果 题目 设圆C与两圆 x 5 姨 2 y2 4 x 5 姨 2 y2 4 中的一个内切 另一个外切 1 求圆C的圆心轨迹L的方程 2 已知点M 35姨 5 45姨 5 F 5 姨 0 且P 为L上的动点 求 MP FP 的最大
14、值及此时点P的坐 标 思路分析 1 本小题主要考查两圆位置关系 及双曲线定义的应用 相当部分同学都懂得两圆外切 内切时需满足的条件 即会列出两种情况的关系式 CF1 r 2 CF2 r 姨 2 或 CF1 r 2 CF2 r 2 姨 但后续部分可能陷入 一 种死板 的做题 模式 即 通 过CF1 CF2 4或 CF2 CF1 4两种情况将C x y 分别代入列式化 简 这样会大大增加了运算量 也大大增加了出错率 可谓吃力不讨好 其实 通过CF1 CF2 4或CF2 CF1 4合 二为一 得到 CF1 CF2 4 25 姨 F1F2 显然轨迹L 为以两已知圆心F1 F2为焦点的双曲线 再由2c
15、25 姨 2a 4求得a b c 这样所求轨迹方程x 2 4 y2 1就出来了 自然流畅 表述简洁 在高考作答中赢得了时间也赢得了 分数 2 对于这一个小题 当然我们可以借助双曲线的 参数方程设P 2sec tan 代入求最值 但此种方法对 于很多同学来说还是有一定的难度 在这里主要跟大 家探讨一下如何利用数形结合的方法解决平面内曲线 上的动点到两定点距离之差 或和 的最值问题 此题中易判断点M F处于双曲线右支的两侧 要在双曲线上找一点P令得 MP FP 取最大值 通 过画图 显然P与M F不共线时 由 三角形任意 两边之差小于第三边 得 MP FP MF 而当P 与M F共线且在线段MF外时 MP FP MF 即最大值为MF 而P的坐标通过直线MF方程与 双曲线方程联立方程组求得为 6 5姨 5 2 5姨 5 此小题主要考查了方程思想 数形结合思想和分 类讨论思想 题目出得相当好 考查了同学们的思维 孔志宁王位高 2011 年高考广东理科数学解析几何题的变式探究 47
