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1、排列应用问题 第一课时 引入 前面我们学习了分类计数原理和分步计数原理 并学习了排列数公式 这一节 我们将一起来学习排列知识在实际中的应用 所谓排列问题 就是从n个不同元素中取出m个元素 再按照一定的顺序排成一列的问题 称为排列问题 判断一个问题是否是排列问题 就是从n个不同元素中取出的m个元素是有序还是无序 有序的是排列问题 无序不是排列问题 若是排列问题 可直接用排列数公式求解 例1 1 有5本不同的书 从中选3本送给3名同学 每人各1本 共有多少种不同的选法 2 有5种不同书 要买3本送给3名同学 每人各1本 共有多少种不同的选法 解 从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学 对应于从5
2、个元素中任取3个元素的一个排列 因此不同送法的种数是 5 4 3 60 由于有5种不同的书 送给每个同学的1本书都有5种不同的选购法 因此送给3名同学每人1本书的不同方法种数是5 5 5 125 答 共有60种不同的选法 答 共有125种不同的选法 一 无限制条件的排列问题 例2 某信号兵用红 黄 蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗扦上表示信号 每次可以任挂1面 2面或3面 并且不同的顺序表示不同的信号 一共可以表示多少种不同的信号 解 分为三类 第一类挂一面旗 有种信号 第二类挂二面旗 有种信号 第三类挂三面旗 有种信号 由分类计算原理 3 3 2 3 2 1 15 答 一共可以表示15种不同的信
3、号 例3 5个班 有5名语文老师 5名数学老师 5名英语老师 每个班上配一名语文老师 一名数学老师和一名英语老师 问有多少种不同的搭配方法 解 答 有1728000种不同的搭配方法 解 答 有151200种不同的坐法 1 10个人走进只有6把椅子的屋子 若每把椅子必须且只能坐1人 问有多少种不同的坐法 2 某年全国足球甲级 A组 联赛共有14个队参加 每队都要与其余各队在主 客场分别比赛一次 共进行多少场比赛 解 答 共进行182场比赛 课堂练习 3 20位同学互通一封信 那么通信次数是多少 4 由数字1 2 3 4 5 6可以组成多少个没有重复数字的正整数 排列应用问题 第二课时 二 有限制
4、条件的排列问题 主要表现为 某位置上不能排某元素 或某元素只能排在某位置上 例4 用0到9这10个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数 分析 条件限制 百位上不能排0 即百位上只能排1到9这九个数字中的一个 一 特殊元素 特殊位置 的 优先安排法 排除法 第二步从余下的九个数 包括数字0 中任选2个占据十位 个位 有种方法 解法一 分两步完成 第一步从1到9这九个数中任选一个占据百位 有种方法 由分步计数原理 9 9 8 648 优先安排位置法 以位置为主 先满足特殊位置的要求 再考虑一般位置 即特殊位置优先安排 分析一 分步完成 第一步选元素占据特殊位置 第二步选元素占据其余位置 分析二
5、 分步完成 第一步让特殊元素占位 第二步让其余元素占位 解法二 符合条件的三位数可以分三类 根据分类计数原理得 648 第一类每一位数字都不是0的三位数有个 第二类个位数字是0的三位数有个 第三类十位数字是0的三位数有个 优先安排元素法 以元素为主 先满足特殊元素的要求 再考虑一般元素 即特殊元素优先安排 分析三 从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数 称为排除法 解法三 从0到9十个数字中任取3个数字的排列总数为 其中0在百位的有个 即所求的三位数的个数是 答 可以组成648个没有重复数字的三位数 排除法 先不考虑限制条件 计算出总的排列数 再从中减去不满足条件的排列数 即先全体后排除
6、 例5 7人按要求站成一排 分别有多少种不同的战法 1 甲必须站在中间 2 甲不站在排头 左起第一个 3 甲不站在排头 也不站在排尾 4 甲站在排头 乙站在排尾 5 甲不站在排头 乙不站在排尾 1 用三种方法解下列题 7个人排成一排照像 甲不站在中间也不站在两端 问可照多少张不同的照片 课堂练习 2 学校开设语文 数学 外语 政治 物理 化学 体育7门课 如果星期六只开设4节课 体育不排在第1 4节 问有多少种排列法 解2 考虑体育不排在第1 4节 所以第1 4节可从6门课中选2门有A62种 则第2 3节从余下的5门中选2门有A52种 由乘法原理共有A62 A52 600 种 特殊位置优先考虑
7、 解3 考虑体育不排在第1 4节 可分两类 1 体育课不排 有A64种 2 体育课排有A21种 余下从6门选3门有A63种 所以有A21 A63种 由加法原理共有A64 A21A63 600 种 特殊元素优先考虑 3 由1 2 3 4 5这5个数字组成无重复数字的五位数 其中奇数有个 排列应用问题 第三课时 例5 7人站成一排照相 1 甲 乙 丙三人必须相邻 有多少种不同的排法 2 甲 乙两人相邻 另外4人也相邻 有多少种不同的排法 3 甲 乙两人不相邻 有多少种不同的排法 4 甲 乙 丙三人两两不相邻 有多少种不同的排法 5 若要求甲 乙之间间隔2人 有多少种不同的排法 二 邻 与 不邻 问
8、题 相邻问题用 捆绑法 不相邻问题用 插空法 练习 优化方案11页例3跟踪训练2 1 停车场划出一排12个停车位置 今有8辆车需要停放 要求空位置连在一起 不同的停车方法有多少种 补充练习 2 由数字1 2 3 4 5组成没有重复数字且数字4与5不相邻的五位数 这种五位数的个数是 72 方法一 插空法 第一步 将1 2 3进行全排列 有A33 6种方法 第二步 再让4与5插入四个空中的两个空中 共有A42 12种方法 方法二 排除法 先不考虑附加条件 那么所有的五位数应有A55 120个 其中不符合题目条件的 即4与5相邻的五位数共有A44 A22 48个 因此 符合条件的五位数共有A55 A
9、44 A22 72个 总共有 3 计划展出10幅不同的画 其中1幅水彩画 4幅油画 5幅国画 排成一行陈列 要求同一品种的画必须连在一起 那么不同的陈列方式有 B 排列应用问题 第四课时 例6 1 5人排队 甲在乙左边 可以不相邻 的排法有几种 2 7人排成一排 其中甲 乙 丙三人的顺序不变 有几种不同排法 分析 若不考虑限制条件 则有种排法 而甲 乙之间排法有种 故甲在乙左边的排法只有一种符合条件 故符合条件的排法有种 三 顺序固定问题 顺序固定问题用 除法 对于某几个元素顺序一定的排列问题 可先将这几个元素与其它元素一同进行排列 然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数 练习 有4名男生
10、3名女生 3名女生高矮互不等 将7名学生排成一行 要求从左到右 女生从矮到高排列 有多少种排法 所以共有种 分析 先在7个位置上作全排列 有种排法 其中3个女生因要求 从矮到高 排 只有一种顺序故只对应一种排法 四 分排问题 例7 七人坐两排座位 第一排坐3人 第二排坐4人 则有多少种不同的坐法 分析 7个人 可以在前后排随意就坐 再无其他限制条件 故两排可看作一排处理 所以不同的坐法有种 分排问题用 直排法 把n个元素排成若干排的问题 若没有其他的特殊要求 可采用统一排成一排的方法来处理 注意和下题的区别 7个小孩站成两排 其中3个女孩站前排 4个男孩站后排 有多少种站法 1 三个男生 四个
11、女生排成两排 前排三人 后排四人 有几种不同排法 2 八个人排成两排 有几种不同排法 练习 排列应用问题 第五课时 1 四名男生和三名女生站成一排 1 一共有多少种站法 2 甲站在正中间的不同排法有多少种 3 甲 乙二人必须站在两端的排法有多少种 4 甲 乙二人不能站在两端的排法有多少种 综合练习 5 甲不站排头 也不站排尾 有多少种排法 6 甲只能站排头或排尾 有多少种站法 7 甲不站排头 乙不站排尾 有多少种排法 8 四名男生站在一起 三名女生站在一起 有多少种排法 9 男女相间的排法有多少种 10 女生不相邻的排法有多少种 11 三名女生顺序一定的排法有多少种 12 甲与乙 丙二人不相邻
12、的排法有多少种 2 用0 1 2 3 4 5这六个数字 可以组成多少个满足下列条件的数 1 无重复数字的六位奇数 2 用0 1 2 3 4 5这六个数字 可以组成多少个满足下列条件的数 2 无重复数字的六位偶数 2 用0 1 2 3 4 5这六个数字 可以组成多少个满足下列条件的数 3 无重复数字且能被5整除的六位数 2 用0 1 2 3 4 5这六个数字 可以组成多少个满足下列条件的数 4 无重复数字且能被3整除的五位数 2 用0 1 2 3 4 5这六个数字 可以组成多少个满足下列条件的数 5 大于34000且无重复数字的五位数 3 把1 2 3 4 5这五个数字组成无重复数字的五位数 并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列 1 43251是这个数列的第几项 3 把1 2 3 4 5这五个数字组成无重复数字的五位数 并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列 2 这个数列的第96项是多少
