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1、第四章 脚本编写 曾金平刘楚中 课件制作 曾金平刘楚中 线性方程组 1线性方程组的Gauss消元法 本节讨论线性方程 a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 as1x1 as2x2 asnxn bs 的消元法 1 1 先看例子 例1 1解方程组 2x1 x2 3x3 1 4x1 2x2 5x3 4 2x1 2x3 6 解 第二个方程减去第一个方程的2倍 第三个方程减去第一个方程 得 2x1 x2 3x3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5 同解方程组 交换第二 三个方程 2x1 x2 3x3 1 x2 x3 5 4x2 x3 2 第三个方程减去第
2、二个方程的4倍 2x1 x2 3x3 1 x2 x3 5 18 3 x3 第三个方程乘以 2x1 x2 3x3 1 x2 x3 5 x3 6 第二个方程加第三个方程 2x1 x2 3x3 1 x2 1 x3 6 第一个方程加第二个方程再减第三个方程的3倍 2x1 18 x2 1 x3 6 第一个方程乘以 x1 9 x2 1 x3 6 在上述求解过程中 不难看出 我们实际上反复对方程组进行如下三个基本变换 1 用一非零数乘某一方程 2 把一个方程的倍数加到另一个方程 3 互换两个方程的位置 定义1 1上述三种变换称为线性方程组的初等变换 定理1 1方程组经初等变换变成同解方程组 下面考虑一般线性
3、方程组 1 1 先检查x1的系数 如果全为零 则 1 1 对x1没有限制 x1可任意取值 即 1 1 可看作x2 x3 xn的n 1元线性方程组 否则 x1的系数不全为零 则可用初等变换3 使 1 1 变成第一个方程中x1系数不为零的同解方程组 故可不妨令a11 0 利用变换2 将第i个方程加上第一个方程的 于是 1 1 变为 a11x1 a12x2 a1nxn b1 a 22x2 a 2nxn b 2 a s2x2 a snxn b s 1 2 其中a ij aij a1j aij ai1a1j a11 b i bi b1 bi ai1b1 a11 因此解方程组 1 1 就归结于解n 1元方
4、程组 a 22x2 a 2nxn b 2 a s2x2 a snxn b s 1 3 也即 1 1 有解 再对 1 3 作类似变换 易知 最后方程组变成同解的阶梯形方程组 为方便起见 不妨设所得方程组为 1 2 有解 1 3 有解 c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn d1 c22x2 c2rxr c2nxn d2 crrxr crnxn dr 0 dr 1 0 0 0 0 1 4 其中cii 0 i 1 2 r 显然 1 4 有解 1 1 有解 dr 1 0 若dr 1 0 分两种情形 1 r n 此时 阶梯方程组为 c11x1 c1nxn d1 cnnxn dn 此时 上述方程组
5、 称为上三角方程组 且其解可由最后一个方程依次回代 逐步求得xn xn 1 x1 2 r n 此时方程组可改写成为 c11x1 c12x2 c1rxr d1 c1r 1xr 1 c1nxn c22x2 c2rxr d2 c2r 1xr 1 c2nxn crrxr dr crr 1xr 1 crnxn 由此可见 任给xr 1 xn一组值 都可唯一确定出x1 x2 xr 也即方程组有无穷解 此时 x1 x2 xr可用xr 1 xn表示出来 xr 1 xn称为自由变量 例1 2解方程组 2x1 x2 3x3 1 4x1 2x2 5x3 4 2x1 x2 4x3 0 解 经初等变换 得 2x1 x2
6、3x3 1 x3 x3 2 1 2x1 x2 3x3 1 x3 2 0 2x1 3x3 x2 1 x3 2 0 1 r 2 3 n dr 1 1 0 故无解 1 例1 3再解例1 1 方程组对应的同解阶梯方程组为 2x1 x2 3x3 1 x2 x3 5 3x3 18 r 3 n 有唯一解 经回代 知x3 6 x2 1 x1 9 2x1 x2 3x3 1 4x1 2x2 5x3 4 2x1 x2 4x3 1 例1 4解方程组 解 经初等变换 得 2x1 x2 3x3 1 x3 x3 2 2 2x1 x2 3x3 1 x3 2 0 2x1 3x3 x2 1 x3 2 0 0 r 2 3 n dr
7、 1 0 有无穷解 x3 2 x1 7 x2 2 其中x2为自由变量 1 5 0 还可以看出 1 5 也可变为 x2 3x3 2x1 1 x3 2 0 0 x3 2 x2 7 2x1 其中x1为自由变量 即自由变量不唯一 定理1 1 线性方程组 1 1 可经初等变换化为阶梯形方程组 变量次序可能不同 c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn d1 c22x2 c2rxr c2nxn d2 crrxr crnxn dr 0 dr 1 0 0 1 4 其中cii 0 i 1 2 r 且 I 1 1 有解 dr 1 0 II 1 1 有唯一解 dr 1 0 r n III 1 1 有无穷解 d
8、r 1 0 r n 在齐次线性方程组中 方程组经初等变换后仍然是齐次方程组 故dr 1 0总成立 也即齐次方程组总是有解的 定理1 2在齐次线性方程组 a11x1 a12x2 a1nxn 0 a21x1 a22x2 a2nxn 0 as1x1 as2x2 asnxn 0 中 若s n 则必有非零解 2 线性方程组解的结构 一 线性方程组解存在性定理 考虑线性方程组 a11x1 a1nxn b1 a21x1 a2nxn b2 as1x1 asnxn bs 2 1 的矩阵形式 Ax b 2 2 A称为方程组 2 1 的系数矩阵 b称为方程组 2 1 的右端向量 在前面讨论中我们已知 方程组可经一系
9、列方程组初等变换化为阶梯方程组 C11 d1 C22 d2 Crr dr 0 dr 1 0 0 0 0 其中C11 C22 Crr不等于零 由此 我们将 2 1 的解分成三种情况 1 dr 1 0 2 dr 1 0且r n 3 dr 1 0且r n 方程组 2 1 无解 方程组 2 1 有无穷解 方程组 2 1 有唯一解 由 2 1 的等价形式 2 2 知 方程组Ax b一一对应于增广矩阵 2 3 在前面介绍消元法时我们知道 消元法实质上是利用方程组的一系列方程组的初等变换将 2 1 变成同解的阶梯形方程组 下面将出指出 对方程组实行初等变换相应于对其增广矩阵实行矩阵的初等行变换 因此消元法也
10、可看作是对其增广矩阵实行一系列初等行变换化为阶梯矩阵的过程 命题2 1方程组的三类初等变换对应于对增广矩阵实行相应初等行变换 证 只证变换2 方程组 2 1 第i个方程 k加到第j个方程 方程组 2 4 a11x1 a1nxn b1 ai1x1 ainxn bi aj1 kai1 x1 ajn kain xn bj kbi as1x1 asnxn bs 2 4 例2 1解线性方程组 x1 2x2 x3 3x4 5 2x1 x2 x3 x4 2 3x1 4x2 3x3 x4 1 x1 3x2 2x4 1 解 对增广矩阵实行初等行变换 1行 2 2行 1行 3 3行 1行 1 4行 1 2135
11、0 0 0 5 3 5 8 10 6 10 16 5 1 5 6 2行 2 3行 2行 1 4行 1 2135 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 3行4行交换 1 2135 最后的阶梯阵对应于方程组 x1 2x2 x3 3x4 5 5x2 3x3 5x4 8 2x3 2 将x4移至方程右端并令其为自由变量 得 x1 2 x4 x2 1 x4 x3 1 x4为自由变量 x1 2x2 x3 3x4 5 5x2 3x3 5x4 8 2x3 2 例2 2解线代数方程组 x1 x2 x3 1 x1 2x2 5x3 2 2x1 3x2 4x3 5 解 对增广矩阵实行初等行变换 1111 0 1 6
12、1 0 1 6 3 1111 0 0 0 2 r 2且d3 2 0 方程组无解 由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩故有下面定理 定理2 1线性方程组 1 1 有解 I r n时 II r n时 方程组有无穷个解 自由变量个数为零 方程组有唯一解 例2 3 取何值时 方程组 x1 2x3 1 x1 x2 3x3 2 2x1 x2 x3 无解 有唯一解 有无穷解 解 102 1 0 1 1 1 0 1 4 2 102 1 0 0 5 3 I 5 3时 无解 II 5 3时 有无穷解 III 5时 有唯一解 推论2 1对于齐次方程组Ax 0 设r A r 则 I r n 有唯一解 即零解 II r n
13、 有无穷解 即有非零解 二 线性方程组解的结构 1 齐次线性方程组解的结构 设S x Rn Ax 0 则 证 设x 1 x 2 S 1 2 R 则 A 1x 1 2x 2 1Ax 1 2Ax 2 1 0 2 0 0 1x 1 2x 2 S 定理2 2S是Rn中的线性子空间 证毕 由向量空间性质知 只要S 0 即Ax 0有非零解 S都存在基 此基有性质 I 基中向量线性无关 II S中任一元素都可由基线性表出 定义2 1设 1 t为Ax 0的解 且 I 1 t线性无关 II Ax 0的任何解都可用 1 t线性表出 则称 1 t为齐次方程组Ax 0的基础解系 定理2 3设r A r n 则基础解系
14、中解的个数为t n r 例2 4求齐次阶梯方程组 c11x1 c1rxr c1nxn 0 crrxr crnxn 0 2 5 的一个基础解系 其中c11 crr 0 解 令xr 1 xn为自由变量 分别令其为 依次代入 2 5 求解得n r个解 易证 1 2 n r线性无关 即 1 2 n r为Ax 0的基础解 例2 5求解齐次线性方程组 x1 x2 2x4 x5 0 3x1 3x2 7x4 0 x1 x2 2x3 3x4 2x5 0 2x1 2x2 2x3 7x4 3x5 0 解 1 1021 0 0 0 1 3 0 0 2 1 1 0 0 2 3 5 1 1021 0 0 0 2 6 令x
15、2 x5为自由变量 令 得 x1 1 x3 0 x4 0 令 得 x1 7 x3 2 x4 3 则得基础解系为 方程组通解为k1 1 k2 2 定理2 4Ax b的通解等于齐次方程组Ax 0的通解与Ax b的一个特解之和 即设 1 2 n r为Ax 0之基础解系 0为Ax b之特解 则Ax b的通解可表为 k1 1 kn r n r 0 2 非齐次线性方程组解的结构 例2 5求解 x1 3x2 x3 2x4 x5 4 3x1 x2 2x3 5x4 4x5 1 2x1 3x2 x3 x4 x5 4 4x1 16x2 x3 3x4 9x5 21 解 齐次方程组中令x4 x5为自由变量 取 x1 27 x2 4 x3 41 取 x1 22 x2 4 x3 33 得基础解系 对于非齐次阶梯方程组中令x4 x5 0 得一特解 故原方程组通解为 x k1 1 k2 2 0 1 39 3 0 34 1 0 4 1 0 4 1 1 27 0 0 22 2 此时 解非常容易求 3解线性方程组的一个应用 本节讨论矩阵的特征值与特征向量 定义3 1 定理3 1 例3 1求A的特征值和特征向量 解 例3 2求A的特征值和特征向量 解 定理3 2 谢谢观看
