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1、第二章随机过程的概念与基本类型 随机过程的例子 以X t 表示某电话交换台在时间段 0 t 内接到的呼叫次数 则 X t t 0 是随机过程 以X t 表示某地区第t天的最高气温 则 X t t 0 1 是随机过程 以X t 表示某固定点处在时刻t的海面相对于平均海平面的高度 则 X t t 0 是随机过程 X t acos t t 其中a 是常数 是随机变量 则 X t t 是随机过程 2 1随机过程的一般概念 定义2 1设 F P 为概率空间 T是参数集 若对任意t T 有随机变量X t e 与之对应 则称随机变量族 X t e t T 是 F P 上的随机过程 简记为 X t t T 或
2、 Xt t T X t 的所有可能的取值的集合称为状态空间或相空间 记为I 2 1随机过程的基本概念 从数学上看 随机过程 X t e t T 是定义在T 上的二元函数 对固定的t X t e 是 F P 上的随机变量 对固定的e X t e 是定义在T上的普通函数 称为随机过程的一个样本函数或样本轨道 2 1随机过程的基本概念 按参数T和状态空间I分类 1 T和I都是离散的 2 T是连续的 I是离散的 3 T是离散的 I是连续的 4 T和I都是连续的按Xt的概率特性分类正交增量过程独立增量过程马尔可夫过程平稳随机过程 一维随机变量e X e 二维随机变量e X e Y e n维随机变量e X
3、1 e X2 e Xn e 随机序列e X1 e X2 e 随机过程e X t e t T 随机变量族 t e xt e x t e xx ti e t1t2t3 2 2随机过程的分布和数字特征 随机过程 X t t T 的有限维分布函数族其中是n维随机变量 X t1 X t2 X tn 的联合分布函数 例 X t tV t 其中V为随机变量 P V 1 0 6 P V 1 0 4 求F1 5 x F2 x F1 5 2 x1 x2 2 2随机过程的分布律和数字特征 有限维分布函数族的性质 1 对称性其中是的任意排列 2 相容性m n 2 2随机过程的分布律和数字特征 定理 柯尔莫哥洛夫 Ko
4、lmogorov 设已给参数集T及满足对称 相容的有限维分布函数族F则必存在概率空间 F P 及定义在其上的随机过程 X t t T 它的有限维分布函数族就是F有限维特征函数族 2 2随机过程的分布和数字特征 定义2 3设 X t t T 是随机过程 定义均值函数若对 EX2 t 存在 则称该过程为二阶矩过程 方差函数协方差函数 2 2随机过程的分布律和数字特征 相关函数 显然有关系式 随机过程数字特征之间的关系 均值函数 自相关函数 最主要的数字特征 2 2随机过程的分布律和数字特征 例设X t Ycos t Zsin t t 0 Y Z相互独立 EY EZ 0 DY DZ 2 求 X t
5、t 0 的均值函数和协方差函数 解 2 2随机过程的分布律和数字特征 2 2随机过程的分布律和数字特征 例设X t Y Zt t 0 Y ZN 0 1 求 X t t 0 的一 二维概率密度族 解因Y Z为正态随机变量 则其线性组合X t 也是正态随机变量 X t N 0 1 t2 2 2随机过程的分布律和数字特征 随机过程 X t t 0 的一维概率密度 2 2随机过程的分布律和数字特征 随机过程 X t t 0 的二维概率密度 2 2随机过程的分布律和数字特征 设 X t t T Y t t T 是两个随机过程 二阶矩函数存在 定义二阶矩过程一 二阶矩函数存在定义2 4互协方差函数互相关函
6、数 显然有关系式 2 2随机过程的分布律和数字特征 例设X t 为信号过程 Y t 为噪声过程 W t X t Y t 求W t 的均值函数和相关函数 解 2 2随机过程的分布律和数字特征 2 3复随机过程 定义2 5设 Xt t T Yt t T 是取实值的两个随机过程 对t T Zt Xt iYt 则称 Zt t T 是复随机过程 均值函数方差函数 2 3复随机过程 相关函数协方差函数 显然有关系式 2 3复随机过程 设 Xt t T Yt t T 是两个复随机过程 定义互相关函数互协方差函数 显然有关系式 2 3复随机过程 复随机过程的协方差函数具有性质 1 共轭对称性 2 非负定性 2
7、 3复随机过程 例设复随机过程X1 X2 Xn独立 w1 w2 wn为参数 求 Zt t 0 的均值函数m t 和相关函数R s t 解 2 3复随机过程 2 4几种重要的随机过程 2 4几种重要的随机过程 定义2 6设 X t t T 是随机过程 且EX t 0 EX2 t 若对任意的t1 t2 t3 t4 T 有E X t2 X t1 X t4 X t3 0 则称 X t t T 为正交增量过程 不相关t1t2t3t4定理 设T a b 规定X a 0 若 Xt t T 是正交增量过程 则 2 4几种重要的随机过程 证 对于a s t b同理对于a t s b 有于是 2 4几种重要的随机
8、过程 定义2 7设 X t t T 是随机过程 对任意正整数n和t1 t2 tn T 随机变量X t2 X t1 X t3 X t2 X tn X tn 1 是相互独立的 则称 X t t T 是独立增量过程或可加过程 定理 若 Xt t T 是独立增量过程 且EX t 0 EX2 t 则 Xt t T 是正交增量过程 2 4几种重要的随机过程 事实上 对t1 t2 t3 t4 T 由独立增量性 有E X t2 X t1 X t4 X t3 E X t2 X t1 E X t4 X t3 0 2 4几种重要的随机过程 定义2 8设 X t t T 是独立增量过程 若任意s t 随机变量X t
9、X s 的分布仅依赖于t s 则称 X t t T 是平稳独立增量过程 维纳过程和泊松过程是平稳独立增量过程 定义2 9设 X t t T 为随机过程 若对任意正整数n及t10 且条件分布P X tn xn X t1 x1 X tn 1 xn 1 P X tn xn X tn 1 xn 1 则称 X t t T 为马尔可夫过程 若t1 t2 tn 2表示过去 tn 1表示现在 tn表示将来 马尔可夫过程表明 在已知现在状态的条件下 将来所处的状态与过去状态无关 定义2 12设 X t t T 是随机过程 对任意常数 和正整数n t1 t2 tn T t1 t2 tn T 若 X t1 X t2
10、 X tn 与 X t1 X t2 X tn 有相同的联合分布 则称 X t t T 为严平稳过程 也称狭义平稳过程 6 1平稳随机过程的概念 定义2 13设 X t t T 是随机过程 并满足 1 X t t T 是二阶矩过程 2 对任意t T mX t EX t 常数 3 对任意s t T RX s t E X s X t RX t s 则称 X t t T 为宽平稳过程 也称广义平稳过程 简称平稳过程 若T为离散集 称平稳过程 Xn n T 为平稳序列 6 1平稳随机过程的概念 例设 Xn n 0 1 2 是实的互不相关随机变量序列 且E Xn 0 D Xn 2 试讨论随机序列的平稳性
11、解因为E Xn 0 所以 Xn n 0 1 2 是平稳随机序列 6 1平稳随机过程的概念 广义平稳过程严平稳过程严平稳过程广义平稳过程严平稳过程广义平稳过程 正态过程 二阶矩存在 2 4几种重要的随机过程 定义2 10设 X t t T 是随机过程 对任意正整数n和t1 t2 tn T X t1 X t2 X tn 是n维正态分布随机变量 则称 X t t T 是正态过程或高斯过程 2 4几种重要的随机过程 定义2 11设 W t 0则称 W t t 为维纳过程 或布朗运动 2 4几种重要的随机过程 定理 设 W t t 是参数为 2的维纳过程 则 1 对任意t W t N 0 2 t 2 对
12、任意 a s t E W s W a W t W a 2min s a t a RW s t 2min s t 证 1 由定义 显然成立 2 4几种重要的随机过程 2 不妨设s t 则E W s W a W t W a E W s W a W t W s W s W a E W s W a W t W s E W s W a 2 E W s W a E W t W s D W s W a 2 s a 2 4几种重要的随机过程 若t s 则E W s W a W t W a 2 t a 所以E W s W a W t W a 2min s a t a 若取a 0 则RW s t E W s W t E W s W 0 W t W 0 2min s t 注 维纳过程也是正交增量过程 EX t 0 EX2 t 2 t 还是马尔可夫过程
