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1、第6章平面 直线与立体相交 6 1平面与立体相交概述6 2平面与平面立体相交6 3平面与曲面立体相交6 4直线与立体相交 用平面与立体相交 截去体的一部分 截切 截平面与立体表面的交线 截交线 用以截切立体的平面 截平面 6 1平面与立体相交概述 截交线的性质 是一封闭的平面多边形 截交线的形状取决于被截立体的形状及截平面与立体的相对位置 截交线的投影的形状取决于截平面与投影面的相对位置 截交线是截平面与立体表面的共有线 依据立体表面性质不同 立体的截交线可分为 平面体截交线和曲面体截交线 6 2平面与平面立体相交 平面立体截交线的求法 平面立体截交线的性质 截交线的每条边是截平面与棱面的交线
2、 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形 求各棱线与截平面的交点 棱线法 求各棱面与截平面的交线 棱面法 求平面立体截交线的作图步骤 1 空间分析及投影分析 2 画出截交线的投影 a 截平面与立体的相对位置 确定截交线的形状 确定截交线的投影特性 b 截平面 立体表面与投影面的相对位置 运用线面交点法或面面交线法 分别求出截平面与棱面的交线 并连接成多边形 3 整理立体的棱线投影 1棱柱上截交线的求法 例题1 完成棱柱体被截切后的水平投影和侧面投影 截平面和棱柱表面均有积聚性 利用积聚投影法来求 整理图线 画出棱柱的投影 画出截交线的投影 截交线的正面投影 落在截平面的积聚性投影上 截交线的
3、水平投影 落在六棱柱棱面的积聚性投影上 另一条边为截平面与棱柱顶面交线 交于一条正垂线 截交线的侧面投影 截交线的两个投影已知 求出截交点的第三投影来连得 例题2 画出侧面投影图 例题3 平面拉伸体被侧垂面所截 求截交线 例题3 平面拉伸体被侧垂面所截 求截交线 例题4 画出水平投影图 分析 平面拉伸体被正垂面截断后 其表面增加一个正垂面 在原 截断前 投影图上补画出该正垂面的三面投影即可 据投影面垂直面的投影特性 其水平投影应为侧面投影的类似形 例题5 画出水平投影图 1 8 8 例题6 求八棱柱被平面P截切后的俯视图 P 截交线的形状 1 5 4 3 2 8 7 6 截交线的投影特性 2
4、3 6 7 4 5 求截交线 1 5 4 7 6 3 2 分析棱线的投影 检查截交线的投影 例题6 求八棱柱被平面P截切后的俯视图 例题7 画出水平投影图 5 去掉多余线条 补全投影 解 1 画出对称线 基准 2 画出完整拉伸体的投影 3 画出侧垂面投影 4 判别可见性 画出不可见的棱线 例8 12 34 65 7 1 7 5 6 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 p 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 p 1 2 3 4 5 6 p 例9 例题10 求立体切割后的投影 5 6 例题11 求四棱柱与P Q R平面的截交线 例题11求四棱柱与P Q R平面的截交线 例题12 画
5、出侧面投影图 例题13 求立体截割后的投影 p1 p2 p4 p0 p0 例14 p1 p3 p4 2 棱锥上截交线的求法 交线的形状 投影分析 例1 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图 空间分析 求截交线 分析棱线的投影 检查尤其注意检查截交线投影的类似性 3 2 1 4 例1 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图 例题2 三棱锥被正垂面所截 求截交线 例题3 画出正垂面P与三棱锥的截交线的两面投影 2 求作正面投影 积聚在Pv上 解 1 求平面P与三棱锥各相交表面的交线III IIIII IIIIV IVI 3 求作水平投影 例题4 三棱锥被正垂面所截 求截交线 例1 2 例题5 三棱锥与铅垂面
6、P相交 求截交线的投影 例题6 完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影 1 空间分析 2 投影分析 3 投影作图 4 整理图线 截交线为平面五边形 截平面为正垂面 截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上 要求的是截交线的水平投影和侧面投影 5 例题7 画出截断平面体的左视图和截断面的实形 注意 要逐个截平面分析和绘制截交线 当平面体只有局部被截切时 先假想为整体被截切 求出截交线后再取局部 例8 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图 1 2 1 2 两点分别同时位于三个面上 例8 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图 例题9 画出三棱锥实体与三棱柱虚体的三面投影图 例题10 画全有缺口的四棱锥的水平
7、投影和侧面投影 Pv Qv 例题11 画全有缺口的四棱锥的水平投影和侧面投影 例题11 画全有缺口的四棱锥的水平投影和侧面投影 例题12 求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影 1 空间分析 立体表面交线的形状 空间10边形 2 投影分析 截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上 1 2 10 6 水平截平面截切的交线平行于四棱锥对应底边 侧平截平面截切的交线平行于四棱锥前后棱线 3 投影作图 4 整理图线 例题13 完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影 空间分析 水平截平面与四棱台四各棱面相交 交于四条边 两个侧平截平面均与四棱台三个面相交 分别交于三条边 截平面之间有二条交线 9 10 整
8、理棱线投影 例题14 画出侧面投影图 并补全水平投影图 6 3平面与曲面立体相交 曲面立体截交线的性质 曲面立体截交线的求解方法 1 表面取点法 利用截平面的积聚性和曲面上表面取点法来求截交线的另两个投影 2 辅助平面法 利用三面共点的原理来求 截交线是截平面与回转体表面的共有线 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置 空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置 以确定截交线的形状 分析截平面及回转体与投影面的相对位置 明确截交线的投影特性 如积聚性 类似性等 找出截交线的已知投影 予见未知投影 画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时 其作
9、图步骤为 将各点光滑地连接起来 并判断截交线的可见性 先找特殊点 再补充中间点 曲面立体截交线的求解步骤 整理曲面立体轮廓线 一 圆柱体表面的截交线 截平面与圆柱面的交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置 垂直 圆 椭圆 平行 矩形 倾斜 1 平面与圆柱相交所得截交线形状 一 平面与圆柱相交截切平面与轴线的相互位置关系 及截断面的形状 圆 椭圆 直线 PV PV PV 例1 求左视图 空间及投影分析 求截交线 分析圆柱体轮廓素线的投影 截交线的形状 截交线的投影特性 解题步骤 同一立体被多个平面截切 要逐个截平面进行截交线的分析和作图 1 截平面平行于轴线 例题2 完成圆柱体被截切后的水平
10、投影和侧面投影 例题3 实心圆柱两边切槽 解题步骤1 分析截交线的水平投影为直线和部分圆 侧面投影为矩形 2 求出截交线上的特殊点 3 顺次地连接各点 作出截交线并判别可见性 4 整理轮廓线 1 2 13 3 4 24 例题4 实心圆柱含轴线切槽 解题步骤1分析截交线的水平投影为直线和部分圆 侧面投影为矩形 2求出截交线上的特殊点 3顺次地连接各点 作出截交线并判别可见性 4整理轮廓线 PV 例5 例6 求左视图 例6 求左视图 例7 求左视图 例7 求左视图 例8 求俯视图 例8 求俯视图 例9 求俯视图 例9 求俯视图 PV 例10 例题1 求圆柱截交线 解题步骤1 分析截平面为正垂面 截
11、交线的侧面投影为圆 水平投影为椭圆 2 求出截交线上的特殊点 3 求出若干个一般点 4 光滑且顺次地连接各点 作出截交线 并且判别可见性 5 整理轮廓线 2 截平面倾斜于轴线 椭圆的长 短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变 截平面与圆柱轴线成45 时 例题2 求圆柱截交线 解题步骤1 分析侧面投影为圆的一部分 截交线的水平投影为椭圆的一部分 2 求出截交线上的特殊点 3 求出若干个一般点 4 光滑且顺次地连接各点 作出截交线 并且判别可见性 5整理轮廓线 例题3 画全截断回转体的三视图 例5 求左视图 例题5 画全三面投影 例题6 画全三面投影 圆锥体表面的截交线 过锥顶 两相交直线 圆 椭
12、圆 抛物线 双曲线 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同 截平面与圆锥面的交线有五种形状 平面与圆锥体相交截切平面与轴线的相互位置关系 及截断面的形状 PV PV PV PV PV 90 圆 P 两条轮廓线 椭圆 P 轮廓线 抛物线 直线 P 一条轮廓线 双曲线 二 求圆锥截交线上点的方法 例题1 求圆锥与水平面的截交线 1 单个平面截切圆锥体 例题2 求圆锥截交线 解题步骤1 分析截平面为正垂面 截交线为椭圆 截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆 2 求出截交线上的特殊点 3 求出一般点 4 光滑且顺次地连接各点 作出截交线 并且判别可见性 5 整理轮廓线 例3 圆锥被正平面截切 补全主视图 截
13、交线的空间形状 截交线的投影特性 例题4 完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影 例题1 完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影 2 多个平面截切圆锥体 例题2 画全三面投影 例题3 画全三面投影 正面转向线上的点 最前 最后点 一般位置点 作图步骤 判别可见性连线 例题4 画全三面投影 例题5 求圆台截交线 解题步骤1 分析截平面为正垂面侧平面 截交线为部分椭圆和梯形的组合 其水平投影为部分椭圆和直线的组合 侧面投影为部分椭圆和梯形的组合 2 求出截交线上的特殊点 3 出一般点 4 光滑且顺次地连接各点 作出截交线 并且判别可见性 5 整理轮廓线 难点 例题6 补齐圆锥的水平和侧面投影 比较 在圆锥
14、上开方孔与在棱锥上开方孔 表面交线有何不同 例题7 分析并想象出圆锥穿孔后的投影 圆球表面的截交线 平面与圆球相交 截交线的形状都是圆 但根据截平面与投影面的相对位置不同 其截交线的投影可能为圆 椭圆或积聚成一条直线 求圆球截交线上点的方法 例题1 求圆球截交线 解题步骤1 分析截平面为正垂面 截交线为圆 截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆 2 求出截交线上的特殊点 3 求出若干个一般点A B C D 4 光滑且顺次地连接各点 作出截交线 并且判别可见性 5 整理轮廓线 例题2 求圆球截交线 解题步骤1 分析截平面为两个侧平面和一个水平面 截交线为圆弧和直线的组合 截交线的水平投影和侧面投影均
15、为圆弧和直线的组合 2 求出截交线上的特殊点 3 求出各段圆弧 4 判别可见性 整理轮廓线 1 2 例题3 已知半球被截切后的H面投影 求作其余两投影 若在半球上打一个方孔 投影图该是什么样的 思考题 若在半球上打一个方孔 投影图该是什么样的 思考题 例题4 分析并想象出圆球穿孔后的投影 求作图示圆环的截交线 作图步骤 画出截交线的水平投影 求作正面投影 水平面转向线上的点 最高点 最低点 特殊位置点 一般位置点 P平面与内环面的交点 判别可见性 连线 中间点 P平面与外环面的交点 平面与圆环相交 例题1 画全回转体被截切后的正面投影及侧面投影 平面与任意回转体相交 例题1 画全回转体被截切后
16、的正面投影及侧面投影 例题2 已知简化连杆零件的小端 试求截交线的投影 空间分析 画出截交线的水平投影 求作正面投影 环面和球面的分界点I II 最高点III 特殊位置点 一般位置点IV V 判别可见性 连线 转向线上的点VI VII 可不求 作图步骤 例题2 已知简化连杆零件的小端 试求截交线的投影 例题3 画全三视图 例题4 画全水平投影 空间分析 作图步骤 未截之前 圆锥截交线 特殊位置点 一般位置点 大圆柱截交线 小圆柱截交线 判别可见性 双曲线 两条素线 两条素线 例题6 画出水平投影图 例题7 完成组合回转体截切后的正面投影 空间与投影分析 组合回转体是由同轴半球 圆柱体和圆台组合而成 截平面为侧平面 组合回转体截交线由半园 直线段和双曲线组成 其正面投影落在截平面的正面积聚性投影上 例题8 完成组合回转体截切后的侧面投影 6 4直线与立体相交 一 直线与立体表面的贯穿点 1 贯穿点 直线与立体相交 可以视为直线贯穿立体 故直线与立体表面的交点 称为贯穿点 2 贯穿点的求法 1 积聚投影法 当立体表面有积聚投影或直线有积聚投影时 则贯穿点的一个投影成为已知 于是利用直线上点
