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1、 向量的内积 长度及正交性 1 方阵的特征值与特征向量 2 3 对称矩阵的对角化 4 相似矩阵及二次型 二次型及其标准型 5 正定二次型 6 第五章相似矩阵及二次型 内容概要 第五章相似矩阵及二次型 二次型及其标准型 1 掌握二次型及其有关概念 掌握化二次型为标准型的两种方法正交变换法 配方法 5 5二次型及其标准型 引例 对于一般的二次曲线 只要选取适当的坐标旋转变换 就可将曲线方程化为标准型 二次齐次式 只含平方项 在物理 力学及工程也有类似的问题 且往往是不止含有两个变量的二次齐次式 也可通过适当的线性变换 化为只含平方项的标准型 一二次型有关概念 含有n个变量的二次齐次多项式 称为n元
2、二次型 5 5二次型及其标准型 二次型 主要 问题 寻找可逆的线性变换 二次型的标准型 规范型 5 5二次型及其标准型 一二次型有关概念 5 5二次型及其标准型 A为对称矩阵 一二次型有关概念 1 A一定是对称阵 4 标准型的矩阵为对角阵 5 规范型的矩阵也是对角阵 2 A的对角线上的元素恰为的系数 对角元只能为1 1或0 3 是的系数的一半 5 5二次型及其标准型 一二次型有关概念 称实矩阵A为二次型f的矩阵 f与A可建立一一对应的关系 即给了二次型 就可以得到实对称矩阵A 反之 给出了一个实对称矩阵A 就可写出一个二次型f A的秩就是二次型f的秩 一二次型有关概念 5 5二次型及其标准型
3、将二次型 写成矩阵形式 课堂练习 答案 并求出f的秩 练习 5 5二次型及其标准型 二正交变换法 前边提到将二次型化为标准型的主要问题为 寻找可逆的线性变换 记 5 5二次型及其标准型 就可将f转化为标准型 二正交变换法 5 5二次型及其标准型 前边提到将二次型化为标准型的主要问题为 寻找可逆的线性变换 因为实二次型的矩阵A为实对称方阵 故对 任一个n元实二次型 一定可以找到 一个正交变换 使得 其中 为实对称方阵A的特征值 其中 5 5二次型及其标准型 C的列向量是矩阵A的两两正交的单位向量 其中第j列是 j对应的特征向量 二正交变换法 求正交变换 将二次型化为标准形 5 5二次型及其标准型
4、 课堂练习 P130例14 合同的定义与性质 设A和B是n阶矩阵 若有可逆矩阵C 使 我们称A与B 1 当C为正交阵时 因而正交相似变换也是合同变换 2 A与B合同 A B的特征值中正项个数和负项个数相等 合同 5 5二次型及其标准型 配方法 用正交变换法化二次型成标准型 具有保持 向量长度不变 设Q为n阶正交阵 y Qx 则 的优点 如果不限于用正交变换 还有很多方法 下面用配方法分两种情形来讨论 配方法 含有平方项xi2 不含有平方项xi2 只有交叉项xixj 5 5二次型及其标准型 化二次型 成标准型 并求所用的变换矩阵 解由于f中含变量x1的平方项 故把含x1的项归并起来 配方可得 不
5、再含x1 继续配方 可得 5 5二次型及其标准型 配方法 化二次型 令 即 就把f化成标准型 规范型 所用的变换矩阵为 5 5二次型及其标准型 成标准型 并求所用的变换矩阵 配方法 解由于f中不含平方项 含x1x2的乘积项 故令 代入可得 再配方 得 令 5 5二次型及其标准型 配方法 成规范型 并求所用的变换矩阵 化二次型 令 即 就把f化成规范型 5 5二次型及其标准型 配方法 成规范型 并求所用的变换矩阵 化二次型 因为x c1y c1c2z 故所用的变换矩阵为 5 5二次型及其标准型 配方法 成规范型 并求所用的变换矩阵 化二次型 小结 二次型的标准型显然不是唯一的 只是标准型中所含的
6、项数 系数 0 确定 即是二次型的秩 在限定变换为实变换时 标准型中正系数的个数是不变的 负系数的个数也不变 这与选择的线性变换无关 5 5二次型及其标准型 求一可逆变换将该二次型化成标准形 并求出规范形 5 5二次型及其标准型 课堂练习 5 5二次型及其标准型 课堂练习 5 5二次型及其标准型 课堂练习 所用的可逆变换为 方程 在空间直角坐标系下表示什么曲面 5 5二次型及其标准型 课堂练习 解 由练习1 P130 例14 的标准型为 故 在空间直角坐标系下表示单页双曲面 设二次型 试求a b及 经正交变换化成 5 5二次型及其标准型 课堂练习 经正交变换化成 解 二次型f 正交阵Q 意味着
7、f的矩阵A的特征值为0 1 2 惯性定理 中正数的个数相等 使 及 正惯性指数 负惯性指数 从而负数的个数也相等 设二次型f的正惯性指数为p 秩为r 则f的规范型可确定为 5 5二次型及其标准型 正 负 惯性指数等于矩阵正 负 特征值的个数 即标准形中正 负 平方项的个数 2 1 1 5 5二次型及其标准型 惯性定理 想一想 解 二次型f 意味着f的矩阵A的特征值为0 1 2 经正交变换化成 5 5二次型及其标准型 2 设二次型 b 0 其中f的矩阵A的特征值之和为1 特征值之积为 12 1 求a b的值 2 用正交变换化f为标准型 并写出所用的正交变换及对应的正交矩阵 想一想 解 5 5二次型及其标准型 想一想 解 的秩为2 意味着A的行列式等于0 由此求出c 3 A的特征值为0 4 9 表示椭圆柱面 5 5二次型及其标准型 4 已知的秩为2 1 求a的值 2 求正交变换X QY 把f化为标准形 3 求方程f x1 x2 x3 0的解 想一想 3 1 a 0 A的特征值为0 2 2 解 5 5二次型及其标准型 谢谢
