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1、量子信息与量子计算 绪论 通信系统的理论模型 信息学理论 研究信息的产生 存储 加工 传播等行为的科学理论 信源 产生消息和消息序列的源编码器 把信息转化为信号的设备 1 信源编码器 提高信息传输的效率 2 信道编码器 提高信息传输的可靠性3 信道 通信系统把载荷消息的信号从甲地传输到乙地的媒介译码器 对信道输出的编码信号进行逆变换的设备信宿 消息传送的对象 信息是什么 衡量通信的有效程度和可靠程度的标准是什么 怎样判断通信方法的优和劣 1928年哈特来 R V L Hartley 首先提出了 信息 这一概念 1948年控制论创始人维纳 N Wiener 指出 信息是信息 不是物质 也不是能量
2、 1948年香农 C E Shannon 对信息及其行为进行了定性和定量的描述 香农给出了两个著名的基本定理 1 信源编码定理也称无噪编码定理或香农第一编码定理 定量的给出了用于存储从信源发出信息所需要的物理资源 2 信道编码定理也称含噪编码定理或香农第二编码定理 定量的给出了有噪声的信道能可靠传输信息的量 量子信息学 一门新兴的 以量子力学与经典信息学理论为主干的交叉性学科 第一章量子信息与量子计算的基本概念 1 1量子信息 1 2经典解读 1 3量子逻辑门 量子逻辑电路 简介 1 4图灵机 经典计算机与量子计算机 1 5有关量子信息编码的基本概念 现代物理将微观世界中所有的微观粒子 光子
3、电子 原子等 统称为量子 量子假说 对于一定频率的电磁辐射 物体只能以此最小单位吸收或发射它 换言之 吸收和发射电磁辐射只能以 量子 方式进行 每个 量子 的能量可以表示为 1 量子 1 1量子信息 一 量子力学基础 式中为普朗克常数 1 1 1 2 态矢量 描述微观粒子在三维空间运动的波函数 可以用坐标矢量r x y z 和时间t的复函数 r t 来表示 粒子的波函数也叫做几率幅 其模的平方表示在时刻t粒子出现在位置r上的几率密度 微观粒子的波函数也可用Dirac符号表示 即复矢量空间的右矢也可用于表示波函数 叫做态矢量 它可以用n维复矢量空间的列矢量表示 为坐标矢量r 时间t和自旋S的函数
4、 1 1 2 1 1 3 利用Dirac符号 两个量子态和的叠加态可以表示为 右矢量的复共轭矢量叫做左矢量 n维左矢量可以表示为 波函数满足归一化条件 n维矢量空间中单位矩阵可以用任意的 构成完备系的基矢表示 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1 1 7 从而 态矢量可以表示成基矢的线性组合 其中 基矢满足正交 归一条件 各种可观测量叫做作用于波函数上的算符 任何一个物理量算符A的期待值或平均值为 物理量A的测量值必须为实数 1 1 8 1 1 9 1 1 10 3 自旋1 2体系的量子态 自旋的粒子在z轴方向的投影只有自旋向上和向下两种可能 因此可自旋的粒子的状态可用二分量矢量来表示 朝z
5、轴正向的自旋 自旋向上 态和朝z轴负向的自旋 自旋向下 态可用列矢量表示 1 1 11 自旋的粒子的自旋角动量算符可以表示为 1 1 12 因为态矢量和均为二分量 自旋角动量算符应为2 2矩阵 式 1 1 12 中2 2矩阵的x y z的分量分别为 1 1 13 Pauli自旋矩阵 例1 1 1 试用自旋算符 的本征态和表示的本征态 由的归一化条件可得 1 1 15 由Pauli矩阵的本征值方程 1 1 16 即 1 1 17 得到 1 1 18 再利用式 1 1 15 得到 因此最后得到的自旋向上的本征态 1 1 19 对于 利用 1 1 20 或者 1 1 21 得到 1 1 22 从而有
6、 1 1 23 由式 1 1 19 和式 1 1 23 很容易验证两个本征矢的正交性 1 1 24 作业 试用自旋算符 的本征态和表示的本征态 二 量子信息 量子信息的载体可以是任意两态的微观粒子系统 图1 1 1具有两个电子层面的原子可以表示量子信息Quantumrepresentedbytwoelectroniclevelsinanatom 微观粒子系统举例 光子具有两个不同的线偏振态或椭圆偏振态 恒定磁场中原子核的自旋 具有二能级的原子 分子或离子 围绕单一原子自旋的电子的两个状态 如图1 1 1 等 三 量子信息的基本存储单元及其特性 经典信息的基本存储单元 比特 bit 可以由经典状
7、态1和0 如电压的高低 表示 量子信息的基本存储单元 量子比特 qubit 一个量子比特的状态是一个二维复数空间的向量 它的两个极化状态和对应于经典状态的0和1 1 1 25 1 1 26 n个量子比特的状态 1 1 27 一个量子比特能够处于既不是又不是的状态上 而是处于和的一个线性组合的所谓中间状态之上 即处于和的叠加态上 利用量子的某一状态表示信息时 我们就说信息量子化了并称为量子信息 由于信息载体 量子 的微观特性 量子信息就变的多姿多彩 这些微观特性主要表现在 量子态相干性 微观系统中量子间相互干涉的现象成为量子信息诸多不可思议特性的重要物理基础 量子态纠缠性 N 大于1 个量子在特
8、定的 温度 磁场 环境下可以处于较稳定的量子纠缠状态 对其中某个子系统的局域操作会影响到其余子系统的状态 量子态叠加性 量子状态可以叠加 因此量子信息也是可以叠加的 所以可以同时输入和操作N个量子比特的叠加态 量子不可克隆定律 量子力学的线性特性确保对任意量子态无法实现精确的复制 量子不可克隆定律和测不准原理构成量子密码术的物理基础 四 线性代数中的量子符号及其运算的简介 量子力学理论是线性的 我们已知在量子力学态矢空间中使用标准符号描述向量 且用0表示该向量空间的零向量 因此对于任意的 下列等式成立 1 1 28 一个向量空间的生成集合是一个向量集合 该向量空间中的任意向量都能够写成这个生成
9、集合的线性组合 例向量空间的生成集合是 1 1 29 中的任意向量 1 1 30 能够写成和的线性组合 我们说和生成向量空间 张量乘积是线性代数的基本运算 1 1 31 表1 1 1给出了线性代数中表述量子力学中量的标准符号及其简要说明 表1 1 1线性代数中一些量子力学标准符号及其简要说明 四 量子态叠加与量子态纠缠 纠缠态 量子态的叠加性源于微观粒子 波粒二象性 的波动 相干叠加性 一个以上的信息状态累加在同一个微观粒子上的现象 量子纠缠状态 entangledstate 指的是两个或多个量子系统之间的非定域 非经典的关联 是量子系统内各子系统或各自由度之间关联的力学属性 一个以上的微观粒
10、子因微观系统的特性相互交缠在一起的现象 量子态可以叠加的物理特性是实现量子并行计算的基础 量子态能够纠缠是实现信息高速的不可破译通信的理论基础 它们都是量子信息理论中特有的概念 A 量子态的矩阵表示例 一对量子比特 1 1 32 能够组成四个不重复的量子比特对 求出它们张量积的矩阵表示 1 1 33 B 量子态叠加与量子态纠缠 当量子比特列的叠加状态无法用各量子比特的张量乘积表示的话 这种叠加状态就称为量子纠缠状态 例 有一量子叠加状态 1 1 34 由于其最后一位量子比特位都是 因此能够将它写成量子比特与量子比特的乘积 1 1 35 但是 对于下列的量子叠加状态 1 1 36 无论采用怎样的
11、方法都无法写成两个量子比特的乘积 这个叠加状态就称为量子纠缠状态 返回 量子状态叠加与并行处理的关系 用两个简单的例子介绍 例 十进制数10和5 若用量子比特来表示 则可分别写成 1 1 37 取它们的叠加态 1 1 38 1 1 39 对它实施各种运算 就如同并行计算一个函数f x 在一系列位置上的函数值 具体的 考虑单量子比特体系 1 1 40 将运算f x 作用到具有两个寄存器的状态 其中 第一个寄存器叫做数据寄存器 第二个寄存器叫做目标寄存器 设算符作用于状态 给出 1 1 41 运算过程如下 如图1 1 2所示 首先将Hadamard们作用到数据存储器的状态上 接着再作用 则可以得到
12、 1 1 42 图1 1 2量子并行计算 由于并行计算 和的结果同时以线性组合的形式包括在式 1 1 42 的状态中 1 2经典解读 一 薛定谔猫和EPR佯谬 1 薛定谔猫 2 EPR佯谬 VS EPR佯谬 思想实验 爱因斯坦 A Einstein 波多尔斯基 B Podolsky 罗森 N Rosen 玻尔 ERP对 A B 总自旋为0的粒子对 这场争论的本质 真实世界是遵从爱因斯坦的居于实在论 还是玻尔的非局域理论 判定这场战争的依据 基于爱因斯坦的隐参数理论推到得到的贝尔不等式 1 4图灵机 经典计算机与量子计算机 一 图灵机与经典计算机 经典计算机实际上就是一个通用图灵机 Turing
13、 machine 简称TM 图灵机的基本模型 记忆单元 可以想象成一条磁带 Tape 处理单元 可以想象成一个读写头 Head 控制单元 TM运算过程 TM正式定义 M Q 图灵机工作原理举例 例1 4 1 设磁带方格上的字符是0和1 试设计能够反转输入到磁带各方个字符的机器 解可以设计如下 控制单元的状态设为0 设磁带方格的字符为0或1或B三种 控制规则见表1 4 1 表1 4 1 假定最初读写头在左端 输入 输出 例1 4 2 试设计能够将磁带上整个字符往右平移一个方格的图灵机 最左端方格上的字符设为0 解控制状态也可以取和 控制单元的状态 设磁带方格的字符为0或1或B三种 控制规则见表1
14、 4 2 表1 4 2 假定最初读写头在磁带左端 状态为 在这一图灵机中 控制单元起寄存器的作用 控制规则的另一种表示方法 例1 4 3 试设计能够将磁带上整个字符往左平移一个方格的图灵机 最右端方格上的字符设为0 最初读写头在磁带左端 解控制状态也可以取和 控制规则见表1 4 3 表1 4 3 例1 4 4 试设计能够复制磁带上字符 ab 使其输出为 ab ab 最左端方格上的字符设为 解TM的运算过程如下 二 量子计算机 1 量子计算机概念的出现 量子信息理论的研究起始于二十世纪七十年代的光量子通信研究 二十世纪八十年代初 计算机科学的研究领域里就出现了量子计算机的概念 在进入九十年代之后
15、由E Bernstein和U Vazirani俩位对量子计算机在数学上给予严格的形式化描述 2 量子计算机与可逆计算 量子计算机 一类遵循量子力学规律存储量子信息 实现量子计算的物理装置 当某个装置处理和计算的是量子信息 运行的是量子算法时 它就是量子计算机 经典计算机特点 量子计算机特点 通用图灵机是不可逆的 但Bennett证明了 所有经典不可逆的计算机都可以改造为逆计算机 而不影响其计算能力 量子计算机的概念源于对可逆计算机的研究 图1 4 1不可逆异或门改进为可逆异或门 1 5有关量子信息编码的基本概念 一 量子信息编码 量子编码的目的就是为了纠正和防止消相干引起的量子错误 量子信息编
16、码的困难 A 量子态不可克隆定理禁止态的复制 B 在量子情况下 测量会引起态坍缩 从而破坏量子相干性 C 而量子错误的自由度要大得多 对于一种确定的输入态 其输出态可以是二维空间中的任意态 解决方案 A 量子编码时 单比特态不是被复制为多比特的直积态 而是编码为一较复杂的纠缠态 B 量子纠错在确定错误图样时 只进行部分测量 C 量子错误的种类虽然为连续统 但它可以表示为3种基本量子错误 对应于3个Pauli矩阵 的线性组合 只要纠正了这3种基本量子错 所有的量子错误都将得到纠正 二 量子编码定理 量子信源编码定律 量子信道编码定律 三 量子编码方案 A 纠随机错的量子码 B 纠随机错的量子码 第二章经典比特与量子比特 2 1经典比特 量子比特及其叠加状态 2 2量子比特的测定 2 3量子比特对与量子比特列阵 2 4量子比特的基本操作 2 1经典比特 量子比特及其叠加状态 记述经典信息的二进制存储单元称为经典比特 bit 经典比特由经典状态的1和0表示 记述量子信息的基本存储单元称为量子比特 qubit 一个量子比特的状态是一个二维复数空间的向量 它的两个极化状态和对应于经典状态的0和1
