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1、 几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系2. 折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数4. 凡是在几
2、何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等【基础篇】一、选择题：1. .（2018四川凉州3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C处，BC交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（） A AD=BCBEBD=EDBCABECBDDsinABE=2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CDOA交于点D，点F是上一点若
3、将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（ ）A36-108B108-32C2D3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）ABCD4. （2018山东青岛3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，BAC=90，点E为AB中点沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F已知EF=，则BC的长是（）AB3C3D3 5. （2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿E
4、F折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且AFG=60，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A1BC2D二、填空题：6. （2018辽宁省盘锦市）如图，已知RtABC中，B=90，A=60，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB上，将ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当DCM为直角三角形时，折痕MN的长为7. （2018山东威海8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕已知1=67.5，2=75，EF=+1，则BC的长 8. （2018湖南省常德3分）如图，将矩形ABCD沿EF折
5、叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知DGH=30，连接BG，则AGB= 三、解答与计算题：9. （2018广东7分）如图，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE（1）求证：ADECED；（2）求证：DEF是等腰三角形10. （2018山东枣庄10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EGCD交AF于点G，连接DG（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长【能力篇】一、选择题：11. （2018辽宁
6、省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（B=90）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )A4B5C6D712. （2018四川省攀枝花3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点给出以下结论：四边形AECF为平行四边形；PBA=APQ；FPC为等腰三角形；APBEPC其中正确结论的个数为（）A1B2C3D413. （2018湖北省武汉3分）如图，在O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D若O的半径为，AB=4，则BC的长
7、是（）A BC D二、填空题：14. (2018辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将BCE沿BE折叠后得到BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G若=，则= 15. （2018四川宜宾3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）当E为线段AB中点时，AFCE；当E为线段AB中点时，AF=；当A、F、C三点共线时，AE=；当A、F、C三点共线时，CEFAEF三、解答与计算题：16.（2018湖北省宜昌11分）在矩形ABCD中，AB=12
8、，P是边AB上一点，把PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BECG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：AEBDEC；（2）如图2，求证：BP=BF；当AD=25，且AEDE时，求cosPCB的值；当BP=9时，求BEEF的值17. （2018广东7分）如图，矩形ABCD中，ABAD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE（1）求证：ADECED；（2）求证：DEF是等腰三角形18. （2018江苏盐城10分）如图，在以线段 为直径的 上取一点，连接 、 .将 沿 翻折后得到 .（1）试说明点 在 上
9、； （2）在线段 的延长线上取一点 ，使 .求证： 为 的切线； （3）在（2）的条件下，分别延长线段 、 相交于点 ，若 ， ，求线段 的长. 【探究篇】19. （2018年江苏省泰州市12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开如图，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开求证：HPC=90；不借助工具，利用图探索一种新的折叠方法，找出与图中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方
10、法（不需说明理由）20. （2018年江苏省宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，（1）当AM= 时，求x的值； （2）随着点M在边AD上位置的变化，PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值； （3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值. 几何图形折叠问题【疑难点拨】1. 折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用解题的
11、关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系2. 折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解3. 矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数4. 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩
12、形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等【基础篇】一、选择题：1. .（2018四川凉州3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C处，BC交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（） AAD=BCBEBD=EDBCABECBDDsinABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案【解答】解：A、BC=BC，AD=BC，AD=BC，所以正确B、CBD=EDB，CBD=EBD，EBD=EDB正确D、sinABE=，EBD=EDBBE=DEsinABE=故选：C【点评】本题主要用排除法，证明A，B，
13、D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CDOA交于点D，点F是上一点若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（ ）A36-108B108-32C2D【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题【分析】先求出ODC=BOD=30，作DEOB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BODSBOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积【解答】解：如图，CDOA，DCO=AOB=90，OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，ODC=BOD=30，作DEOB于点E，则DE=OD=3，S弓形BD=S扇形BODSBOD=63=39，则剪下的纸片面积之和为12（39）=36108，故答案为：36108故选A3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）ABCD【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，E=B=90，易证RtAEFRtCDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=F
