[数学教案]2011届高考数学第二轮知识点复习立体几何初步_0

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1、12011 届高考数学第二轮知识点复习立体几何初步本资料为 WORD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 文 章来源课件 5 Y k J.COm 立体几何初步【学法导航】稳定中有所创新, 由知识立意转为能力立意（1） 考查重点及难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定,以及求线面角、二面角等知识都是重点考查的内容，其中线线角、线面角、二面角的求解更是重中之重在难度上平稳过渡，始终以中等偏难为主。实行新课程的高考，命题者在求稳的同时注重创新高考创新，主要体现在命题的立意和思路上注重对学生能力的考查 （ 2）空间几何体中的三视图仍是高考的一个重要知识点解

2、答题的考查形式仍要注重在一个具体立体几何模型中考查线面的关系 （3）使用， “向量”仍将会成为高考命题的热点，一般选择题、2填空题重在考查向量的概念、数量积及其运算律在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题，比用传统立体几何的方法简便快捷，空间向量的数量积及坐标运算仍是 2010 年高考命题的重点 （4）支持新课改，在重叠部分做, 在知识交汇点处命题 【典例精析】高考资源网1，空间几何体及三视图例 1用一些棱长为 1cm 的小正方体码放成一个几何体，图 1 为其俯视图，图 2 为其主视图则这个几何体的体

3、积最大是 7 cm3图 1（俯视图） 图 2（主视图）例 2.一个多面体的直观图及三视图如图所示，则多面体 的体积为 3例 4.右图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体共有 个5例 5如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 。例 6.矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成4一个直二面角 BACD，则四面体 ABCD 的外接球的体积为 例 7.一个几何体的三视图中，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形（如图） ，根据图中标注的长度，可以计算出该几何体的表面积是 12+4 2.平行与垂直例 8

4、.已知：正方体 ， ，E 为棱 的中点求证： ；求证： 平面 ；求三棱锥 的体积证明：连结 ，则 / ， 是正方形， 面 ， 又 ， 面 面 ， ， 证明：作 的中点 F，连结 是 的中点， ，四边形 是平行四边形， 是 的中点， ，又 ， 四边形 是平行四边形， / ， ， ，平面 面 5又 平面 ， 面 例 9. 多面体 中， ， ， ， 。（1）求证： ；（2）求证： 证明：（1） （2）令 中点为 ， 中点为 ，连结 、 是 的中位线 又 为正 又 ， 四边形 为平行四边形 例 10如图四边形 是菱形， 平面 ， 为 的中点. 求证：6 平面 ； 平面 平面 .解：证：设 ,连 为菱形

5、， 为 中点，又 为 中点。 又 , 为菱形， , 又 ， 又 又 3.距离与角例 11已知 所在的平面互相垂直，且， ，求：直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小；直线 AD 与直线 BC 所成角的大小；二面角 A-BD-C 的余弦值如图，在平面 ABC 内，过 A 作 AHBC，垂足为 H，则 AH平面 DBC，ADH 即为直线 AD 与平面 BCD 所成的角 由题设知AHBAHD，则 DHBH，AH=DH，ADH=45BCDH，且 DH 为 AD 在平面 BCD 上的射影，BCAD，故 AD 与 BC 所成的角为 90 过 H 作 HRBD ，垂足为 R，连结 AR，则由三垂线定理知，

6、7ARBD，故ARH 为二面角 ABDC 的平面角的补角 设 BC=a,则由题设知，AH=DH= ,在HDB 中，HR= a，tanARH= =2故二面角 ABDC 的余弦值的大小为 【点评 】:本题着眼于让学生掌握通性通法。几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步。斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设 为直线 与平面 所成的角， 为直线 的方向向量 与平面 的法向量 之间

7、的夹角，则有 或 （如图）特别地 时， ， ； 时， ， 或 。用两面垂直的性质作垂线，找垂足的位置作出线面角，利用三垂线定理证，利用对称性定义法作二面角 【变式与拓展】如图，BCD 是等腰直角三角形，斜边 CD 的长等于点 P 到 BC 的距离， D 是 P 在平面 BCD 上的射影.求 PB 与平面 BCD 所成角；.求 BP 与平面 PCD 所成的角.【解法 】8. PD平面 BCD，BD 是 PB 在平面 BCD 内的射影，PBD为 PB 与平面 BCD 所成角,BDBC，由三垂线定理得 BCBD，BP=CD，设 BC=a，则 BD=a，BP=CD= a在 RtBPD中，cosDBP=

8、 DBP=45, 即 PB 与平面 BCD 所成角为 45.过 B 作 BECD 于 E，连结 PE，PD平面 BCD 得PDBE，BE 平面 PCD，BPE为 BP 与平面 PCD 所成的角, 在 RtBEP中，BE= a, BP= a,BPE=30 即 BP 与平面 PCD 所成角为 30例 12.在四棱锥 P-ABCD 中，已知 ABCD 为矩形，PA 平面ABCD，设 PA=AB=a，BC=2a，求二面角 B-PC-D 的大小 解析 1.定义法 过 D 作 DE PC 于 E，过 E 作 EF PC 于 F，连接 FD，由二面角的平面角的定义可知 是所求二面角 B-PC-D 的平面角。

9、求解二面角 B-PC-D 的大小只需解DEF 即可 9【解法一】过 D 作 DE PC 于 E，过 E 作 EF PC 于 F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知 是所求二面角 B-PC-D 的平面角在四棱锥 P-ABCD 中， PA 平面 ABCD 且 ABCD 为矩形，ADDCPDDCPA=a，AD=BC=2a ，PD= ,PC= ,DE= ,CE= 同理在 RtPBC中， ，在 RtEFC中,FC= , 在 RtDFC中,DF= ,在DEF 中由余弦定理 cos = 所求二面角 B-PC-D 的余弦值为 解析 2.垂面法 易证面 PAB面 PBC，过 A 作 AM BP 于M，显然 A

10、M 面 PBC，从而有 AM PC，同法可得 AN PC，再由 AM 与 AN 相交与 A 得 PC 面 AMN。设面 AMN 交 PC 于10Q，则 为二面角 B-PC-D 的平面角；再利用三面角公式可解 【解法二】略解析 3.利用三垂线求解把四棱锥 P-ABCD 补成如图的直三棱柱 PAB-EDC，显然二面角 E-PC-D 与二面角 D-PC-B 互补，转化为求二面角 E-PC-D。易证面 PEDA PDC，过 E 作 EF PD 于 F，显然 PF 面PDC，在面 PCE 内，过 E 作 EG PC 于 G，连接 GF，由三垂线得GF PC 即 为二面角 E-PC-D 的平面角，只需解E

11、FG 即可 解析 4.在面 PDC 内，分别过 D、B 作 DE PC于 E，BF PC 于 F，连接 EF 即可。利用平面知识求 BF、EF、DE 的长度，再利用空间余弦定理求出 q 即可 【点评 】.用几何法求二面角的方法比较多，常见的有：（1）定义法, 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析（2）三垂线求解 ,在棱上的点分别作棱的垂线，如解析（3）垂面法, 在棱上的点分别作棱的垂线，如解析11用几何法将二面角转化为其平面角，要掌握以下三种基本做法：直接利用定义，图(1).利用三垂线定理及其逆定理，图 (2).最常用。作棱的垂面，图(3).4.空间几何中的向量方法例 13. 如下图，直棱柱 AB

12、CA1B1C1 的底面ABC 中，CA=CB=1，BCA=90，棱 AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A的中点.（1）求 BN 的长；（2）求异面直线 BA 与 1CB1 的余弦值；（3）求证：A1BC1M.【解法 】：ACBC,CC1面 ABC，可以建立如图所示的坐标系12（1）依题意得 B（ 0， 1，0 ） ，N（1，0，1） ， = = .（2）A1（1，0，2） ，B（0，1 ，0） ，C（0，0 ，0） ，B1（0，1 ，2） ， =(1,-1,2)， =（0，1 ，2） ， =3， = ， = .cos ， = = . 所以，异面直线 BA 与 1CB1 的余弦值为 （3

13、）证明：C1 （0，0，2 ） ，M（ ， ，2） ，=(-1,1,-2)， =（ ， ，0） ， =0，A1BC1M.【点评 】底面有直角的直棱柱适合建立坐标系的条件，可以用两点间的距离公式，数量积的夹角公式，用坐标法求点点距、向量夹角。特别注意异面直线角的范围(0, ,而向量角的范围为0, 【变式与拓展】在三棱锥 SABC 中，SAB=SAC=ACB=90，AC=2，BC= ，SB= .（1）求证：SCBC；（2）求 SC 与 AB 所成角的余弦值.【解法一】：如下图，取 A 为原点，AB、AS 分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系，则有 AC=2，BC= ， SB= ，得 B（0， ，0

14、 ） 、13S（0，0，2 ） 、C （2 ， ，0 ） ， =（2 ， ，2 ） ， =（2 ， ，0）.（1） =0，SCBC.（2）设 SC 与 AB 所成的角为 ， =（0， ，0 ） ， =4，| | |=4 ，cos= ，即为所求. 【解法二】：（1）SA面 ABC，ACBC，AC 是斜线 SC 在平面 ABC 内的射影，SCBC.（2）如下图，过点 C 作 CDAB，过点 A 作 ADBC交 CD 于点 D，连结 SD、SC，则SCD 为异面直线 SC 与 AB 所成的角. 四边形 ABCD 是平行四边形，CD= ，SA=2 ，SD= = =5，在SDC 中，由余弦定理得 cos

15、SCD= ，即为所求 .例 14.如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 底面ABCD， E 是 PC 的中点，作 交 PB 于点 F.（ 1）证明 平面 ；（ 2）证明 平面 EFD；（ 3）求二面角 的大小14【解法 】：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点.设 证明：连结 AC，AC 交 BD 于 G.连结 EG. 依题意得 底面 ABCD 是正方形， 是此正方形的中心，故点 G 的坐标为 且 . 这表明 .而 平面 EDB 且 平面 EDB， 平面 EDB。证明：依题意得 。又 故 , 由已知 ，且 所以 平面 EFD.(3)解：设点 F 的坐标为 则 从而 所以 由条件 知， 即 解得 15点 F 的坐标为 且 ,即 ，故 是二面角 的平面角. 且,所以，二面角 CPCD 的大小为 【点评 】考查空间向量数量积及其坐标表示，运用向量