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1、.点、线、面的位置关系 知识梳理（一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理2：不共线的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面. 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线；
2、1.4异面直线所成的角：（1）范围：；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：定义：直线与平面无公共点.判定定理：性质定理：2.线面斜交： 直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围：3.面面平行：定义：；判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述： 判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：.面面平行的性质：（1）；（2）（四）垂直关系（包括线面垂直，面面
3、垂直）1.线面垂直定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意都有，且，则.判定：性质：（1）；（2）；3.2面面斜交二面角：（1）定义：【如图】范围：作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法.3.3面面垂直（1）定义：若二面角的平面角为，则；（2）判定定理： （3）性质：若，二面角的一个平面角为，则； 热点例析【例1】热点一有关线面位置关系的组合判断若a，b是两条异面直线，是两个不同平面，a，b，l，则()Al与a，b分别相交Bl与a，b都不相交Cl至多与a，b中一条相交Dl至少与a，b中的一条相交解析：假设l与a，b
4、均不相交，则la，lb，从而ab与a，b是异面直线矛盾，故l至少与a，b中的一条相交选D.热点二线线、线面平行与垂直的证明【例2】如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD (1)方法一：因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所以D1DBD.又因为AB2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcos 603AD2，所以AD2BD2AB2.所以ADBD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1. 又AA1平面ADD1A1，故
5、AA1BD.方法二：因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD(如图)，所以BDD1D.取AB的中点G，连接DG(如图)在ABD中，由AB2AD得AGAD.又BAD60，所以ADG为等边三角形，因此GDGB，故DBGGDB.又AGD60，所以GDB30，故ADBADGGDB603090，所以BDAD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，故AA1BD.(2)如图，连接AC，A1C1.设ACBDE，连接EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以ECAC.由棱台定义及AB2AD2A1B1知A1C1EC且A1C1EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形因此CC1EA1
6、.又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD.热点三面面平行与垂直的证明【例3】在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD2，BC4，P为平面ABCD外一点，且PAPB，PDPC，N为CD的中点(1)求证：平面PCD平面ABCD；(2)在线段PC上是否存在一点E使得NE平面ABP？若存在，说明理由并确定E点的位置；若不存在，请说明理由 (1)证明：取AB中点M，连接PM，PN，MN，则PMAB，PNCD.又ABCD为直角梯形，ABBC，MNAB.PMMNM，AB平面PMN.又PN平面PMN，ABPN.AB与CD相交，PN平面ABCD.又PN平面 PCD，平面PCD
7、平面ABCD.(2)解：假设存在在PC，PB上分别取点E，F，使BFBP，CECP，连接EF，MF，NE，则EFBC且可求得EFBC3.MN3且MNBC，EFMN且EFMN.四边形MNEF为平行四边形，ENFM.又FM平面PAB，在线段PC上存在一点E使得NE平面ABP，此时CEPC.热点四折叠问题例4如图所示，在直角梯形ABCP中，AP/BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将沿CD折起，使得平面ABCDADPCBGEFPDABGCEF（）求证：AP/平面EFG； () 求二面角的大小解:() 证明:连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO E
8、,F分别为PC,PD的中点,/,同理/, / 四边形EFOG是平行四边形, 平面EFOG又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,PA/EO平面EFOG,PA平面EFOG, PA/平面EFOG,即PA/平面EFG 方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EOE,F分别为PC,PD的中点,/,同理/又/AB,/平面EFG/平面PAB, 又PA平面PAB,平面EFG 方法三)如图以D为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系则有关点及向量的坐标为: 设平面EFG的法向量为取,又平面EFG AP/平面EFG ()由已知底面ABCD是正方形 ,又面ABCD 又平面PCD,向量是平面PCD的一
9、个法向量, =又由()方法三)知平面EFG的法向量为结合图知二面角的平面角为 热点五 线线角线面角面面角例5正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。（1）连交于点，连PO，则PO面ABCD， PAO就是与底面所成的角， tanPAO=。设AB=1，则PO=AOtanPAO = 。设F为AD中点，连FO、PO，则OFAD，所以，PFAD，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角。在Rt中， 。即面与底面所成二面角的大小为（2）由（
10、1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，。 就是异面直线PD与AE所成的角。在Rt中，。 。由，可知：面。所以，。在Rt中，。 异面直线PD与AE所成的角的正切是。（3）延长交于点，连接。设为中点，连接。 四棱锥为正四棱锥且为中点，所以，为中点， ，。 。 面。 ， 为正三角形。 ， 。取AF中点为K，连EK，则由及得四边形为平行四边形，所以，。 学生练习一、选择题1设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若，则 若，则 若，则 若，则 其中正确命题的序号是 ( )A和B和C和D和2若长方体的三个面的对角线长分别是，则长方体体对角线长为（ ） A B C D3
11、在三棱锥中,底面,则点到平面的距离是( ) A B C D4在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（ ） A B C D5三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则为的（ ）A内心 B外心 C垂心 D重心6在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为，则二面角的余弦值为（ ）A B C D 7四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）A B C D二、填空题1点到平面的距离分别为和，则线段的中点到平面的距离为_2从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_。3一条直线和一个平面所成的角为，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最
12、大的角是_4正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_。5在正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,过作与分别交于和的截面，则截面的周长的最小值是_ 三、解答题1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点(1)证明：PB平面ACM；(2)证明：AD平面PAC2在正三棱柱ABCA1B1C1中，EBB1，截面A1EC与侧面A1ACC1所成角为90.(1)求证：BEB1E；(2)若AA1A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二
13、面角的大小3如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，PDDC4，AD2，E为PC的中点(1)求证：ADPC；(2)求三棱锥APDE的体积；(3)在AC上是否存在一点M，使得PA平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由答案一、选择题 1 A 若，则，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 若，则，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交2C 设同一顶点的三条棱分别为，则得，则对角线长为3B 作等积变换4B 垂直于在平面上的射影5C 6C 取的中点，取的中点，7C 取的中点，则，在中，二、填空题1.或 分在平面的同侧和异侧两种情况2. 每个表面有个，共个；每个对角面有个，共个3. 垂直时最大 4. 60 度5. 11 沿着将正三棱锥侧面展开，则共线，且三、解答题：略1证明：(1)连接
