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1、.分式函数的图像与性质 学习过程 1、分式函数的概念形如的函数称为分式函数。如，等。2、分式复合函数形如的函数称为分式复合函数。如，等。 学习探究探究任务一：函数的图像与性质问题1：的图像是怎样的？例1、画出函数的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】，即函数的图像可以经由函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：由此可以画出函数的图像，如下：单调减区间：；值域：；对称中心：。【反思】的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数的图像与性
2、质 （1）定义域： ；（2）值域：；（3）单调性：单调区间为；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；（5）奇偶性：当时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：的图像是怎样的？例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。解：函数的定义域为：；根据单调性定义，可以求出的单调区间增区间：减区间：函数的值域为：函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近
3、线为：函数的图像如下：【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？【小结】分式函数的图像与性质：（1）定义域：；（2）值域：；（3）奇偶性：奇函数；（4）单调性：在区间上是增函数，在区间上为减函数；（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；（6）图象：如右图所示例3、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出的图像解：函数的定义域为：；根据单调性定义，可以判断出的单调性，单调增区间为：.函数的值域为：函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：函数的图像如下：【反思】结合刚才的两个例子， 与的图像又是怎样的呢？思考与的图像
4、是怎样的呢？的图像呢？函数的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。【注】，由于与的图像关于轴对称，所以还可以根据的图像，对称的画出的图像。同样的道理的图像与的图像关于轴对称，所以图像如下：.【小结】的图像如下：（i） (ii) (iii) .(iv) 来源:学+科+网Z+X+X+K的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。探究任务二：函数的图像与性质问题3：函数的图像是怎样的？单调区间如何？【分析】所以的图像与的图像形状完全相同，只是位置不同。图像的对称中心为：单调增区间为：单调减区间为：值域：图像如下：【反思】函数的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？【小结】对于分式函数而言，分子
5、次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：二次分式函数具有形式.我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.1. 定义域和有界性,设 .则函数定义域 .当.此时函数无界.当,函数有界且为常值函数(很少遇到的情况,比如 ).所以通常当 ,二次分式函数是无界的. 是函数的渐近线.当,函数定义域为 .函数有界.2. 单调性,极值,值域当,
6、可以将函数化为 .对于值域中的每一个y,方程都有实数解, .这样就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解)为函数极大值和极小值.但为了计算在何处取得极值,需将极值代入函数解出 ,计算可能有点慢.下文会给出一个简便的计算方法. ,根据极值与的大小即可判断单调区间.这种情况最多有三个单调区间.当,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出 .出现这种情况,求解和 .分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分式值域.比如 分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例子. .首先定义域 解得 .分离分子中的二次项得 . .代入得 函数值域 根据, 可判断出单调区间 共有5个单调区间顺便再算一下函数零点 有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像
